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设f(x)在[0,+∞)上连续,满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明: 若条件改为0≤f(x)<x,x∈(0,+∞)则上一小题中的t=0.
设f(x)在[0,+∞)上连续,满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明: 若条件改为0≤f(x)<x,x∈(0,+∞)则上一小题中的t=0.
admin
2021-06-16
57
问题
设f(x)在[0,+∞)上连续,满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a
1
≥0,a
n+1
=f(a
n
)(n=1,2,…),证明:
若条件改为0≤f(x)<x,x∈(0,+∞)则上一小题中的t=0.
选项
答案
由a
n
≥0及[*]a
n
=t,知t≥0,若t≠0,则t∈(0,+∞),且f(t)<t,但由2可知f(t)=t,矛盾,所以t=0.
解析
【注意】这是一个题源,若令f(x)=sinx,便得到了如下命题:
设数列{x
n
}满足0<x
1
<π,x
n+1
=sinx
n
(n=1,2,…)
(1)证明
x
n
存在,并求该极限。
(2)计算
.
解:(1)由于当0<x<π时,0<sinx<x,所以当0<x
n
<π时,0<x
n+1
=sinx
n
<x
n
<π,已知0<x
1
<π,故由数学归纳法知对一切n=1,2,...,有
0<x
n+1
=sinx
n
<x
n
,
即{x
n
}单调减少且x
n
>0.
由单调有界准则知
x
n
存在,记为a,则a≥0,令n→∞,将x
n+1
=sinx
n
两边取极限,得a=sina,易见a=0是它的一个解。
另一方面,若a>0,必有a>sina,所以由a=sina只能得到唯一解a=0,即有
x
n
=0.
(2)因为
又由(1)知当n→∞时,x
n
→0,故考虑函数极限
因为
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/N6y4777K
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考研数学二
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