设f(x)在[0,+∞)上连续,满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明: 若条件改为0≤f(x)<x,x∈(0,+∞)则上一小题中的t=0.

admin2021-06-16  36

问题 设f(x)在[0,+∞)上连续,满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明:
若条件改为0≤f(x)<x,x∈(0,+∞)则上一小题中的t=0.

选项

答案由an≥0及[*]an=t,知t≥0,若t≠0,则t∈(0,+∞),且f(t)<t,但由2可知f(t)=t,矛盾,所以t=0.

解析 【注意】这是一个题源,若令f(x)=sinx,便得到了如下命题:
设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)
(1)证明xn存在,并求该极限。
(2)计算.
解:(1)由于当0<x<π时,0<sinx<x,所以当0<xn<π时,0<xn+1=sinxn<xn<π,已知0<x1<π,故由数学归纳法知对一切n=1,2,...,有
0<xn+1=sinxn<xn
即{xn}单调减少且xn>0.
由单调有界准则知xn存在,记为a,则a≥0,令n→∞,将xn+1=sinxn两边取极限,得a=sina,易见a=0是它的一个解。
另一方面,若a>0,必有a>sina,所以由a=sina只能得到唯一解a=0,即有xn=0.
(2)因为
又由(1)知当n→∞时,xn→0,故考虑函数极限

因为
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