2. 考研
  3. 设f(x)在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明： 若条件改为0≤f(x)＜x,x∈(0,+∞)则上一小题中的t=0.

设f(x)在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明： 若条件改为0≤f(x)＜x,x∈(0,+∞)则上一小题中的t=0.

admin2021-06-16  39
问题 设f(x)在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明：
若条件改为0≤f(x)＜x,x∈(0,+∞)则上一小题中的t=0.
选项
答案由an≥0及[*]an=t,知t≥0,若t≠0,则t∈(0,+∞)，且f(t)＜t,但由2可知f(t)=t，矛盾，所以t=0.
解析 【注意】这是一个题源，若令f(x)=sinx,便得到了如下命题：
设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1,2,…)
(1)证明xn存在，并求该极限。
(2)计算.
解：（1）由于当0＜x＜π时，0＜sinx＜x,所以当0＜xn＜π时，0＜xn+1=sinxn＜xn＜π，已知0＜x1＜π，故由数学归纳法知对一切n=1,2,...,有
0＜xn+1=sinxn＜xn，
即{xn}单调减少且xn＞0.
由单调有界准则知xn存在，记为a，则a≥0,令n→∞,将xn+1=sinxn两边取极限，得a=sina,易见a=0是它的一个解。
另一方面，若a＞0，必有a＞sina,所以由a=sina只能得到唯一解a=0,即有xn=0.
(2)因为
又由（1）知当n→∞时，xn→0，故考虑函数极限

因为
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考研数学二

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