设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切χ∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

admin2016-06-30 95

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切χ∈Rⁿ，有｜χ^TAχ｜≤cχ^Tχ．
(2)若A正定，则对任意正整数k，A^k也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c＝max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}，则存在正交变换χ＝Py，使χ^TAχ＝[*]λ_iy_i²，且y^Ty＝χ^Tχ，故｜χ^TAχ｜＝[*]＝cy^Ty＝cχ^Tχ． (2)设A的特征值为λ₁，…，λ_n，则λ_i＞0(i＝1，…，n)，于是，由A^k的特征值为λ₁^k，…，λ_n^k，它们全都大于0，可知A^k为正定矩阵． (3)因为(A＋aE)^T＝A＋aE，所以A＋aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n，则A＋aE的特征值为λ₁＋a，…，λ_n＋a．若取a＝max{｜λ₁｜＋1，…，｜λ_n｜＋1}，则λ_i＋a≥λ_i＋｜λ_i｜＋1≥1，所以A＋aE正定．

解析

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考研数学二

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设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切χ∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

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设f(x)在x=0处二阶可导，f(0)=0且=2，则().

设f(x)=在x=0处连续，则a=________.

=________.

设总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0).从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n＞2).

设D={(x，y)|0＜x＜1，0＜Y＜1}，变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，令判断X，Z是否独立.

设X的密度函数为f(x)=的密度fY(y).

已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.

设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)证明存在η∈（0,2），使得f(η)=f(0).

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a.b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.写出点c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式.

设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点ζ，使f"’(ζ)=3．

痰蒙心神证和痰火扰神证皆可出现的表现是()(2011年第25题)

简述子宫内膜异位症的鉴别诊断。

敷设在钢筋混泥土现浇楼板内的电线管最大外径不宜超过板厚的（）。

平行发包模式在费用控制方面的特点是(　　)。

下列关于地铁建筑中火灾自动报警系统的说法中，正确的有()。

公司设立和公司成立的区别有()。

平衡计分卡将关键性衡量指标进行分类，不包括()。

我国的国体是()。

强调教师做学生学习的促进者，表明传授知识已经不再是新课程对教师的要求了。()

WhendidMendesdaRochawinthefirstpublicrecognitionandaccolades?ThePatriarchplazadesignedbyMendesdaRochaisfam

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设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点ζ，使f"’(ζ)=3．

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