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设A是n阶实对称矩阵.证明: (1)存在实数c,使对一切χ∈Rn,有|χTAχ|≤cχTχ. (2)若A正定,则对任意正整数k,Ak也是对称正定矩阵. (3)必可找到一个数a,使A+aE为对称正定矩阵.
设A是n阶实对称矩阵.证明: (1)存在实数c,使对一切χ∈Rn,有|χTAχ|≤cχTχ. (2)若A正定,则对任意正整数k,Ak也是对称正定矩阵. (3)必可找到一个数a,使A+aE为对称正定矩阵.
admin
2016-06-30
63
问题
设A是n阶实对称矩阵.证明:
(1)存在实数c,使对一切χ∈R
n
,有|χ
T
Aχ|≤cχ
T
χ.
(2)若A正定,则对任意正整数k,A
k
也是对称正定矩阵.
(3)必可找到一个数a,使A+aE为对称正定矩阵.
选项
答案
(1)设A的特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
.令c=max{|λ
1
|,|λ
2
|,…,|λ
n
|},则存在正交变换χ=Py,使χ
T
Aχ=[*]λ
i
y
i
2
,且y
T
y=χ
T
χ,故|χ
T
Aχ|=[*]=cy
T
y=cχ
T
χ. (2)设A的特征值为λ
1
,…,λ
n
,则λ
i
>0(i=1,…,n),于是,由A
k
的特征值为λ
1
k
,…,λ
n
k
,它们全都大于0,可知A
k
为正定矩阵. (3)因为(A+aE)
T
=A+aE,所以A+aE对称.又若A的特征值为λ
1
,…,λ
n
,则A+aE的特征值为λ
1
+a,…,λ
n
+a.若取a=max{|λ
1
|+1,…,|λ
n
|+1},则λ
i
+a≥λ
i
+|λ
i
|+1≥1,所以A+aE正定.
解析
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考研数学二
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