设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切χ∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

admin2016-06-30 35

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切χ∈Rⁿ，有｜χ^TAχ｜≤cχ^Tχ．
(2)若A正定，则对任意正整数k，A^k也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c＝max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}，则存在正交变换χ＝Py，使χ^TAχ＝[*]λ_iy_i²，且y^Ty＝χ^Tχ，故｜χ^TAχ｜＝[*]＝cy^Ty＝cχ^Tχ． (2)设A的特征值为λ₁，…，λ_n，则λ_i＞0(i＝1，…，n)，于是，由A^k的特征值为λ₁^k，…，λ_n^k，它们全都大于0，可知A^k为正定矩阵． (3)因为(A＋aE)^T＝A＋aE，所以A＋aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n，则A＋aE的特征值为λ₁＋a，…，λ_n＋a．若取a＝max{｜λ₁｜＋1，…，｜λ_n｜＋1}，则λ_i＋a≥λ_i＋｜λ_i｜＋1≥1，所以A＋aE正定．

解析

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考研数学二

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设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切χ∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

考研数学二

设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4，f′(2)=，f′(4)=6，则g′(4)等于().

一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为60％，30％，10％，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为________.

试证明：若f(x)在[a,b]上存在二阶导数，且f’(a)=f’(b)=0,则存在ξ∈(a,b)，使得

曲线y=(x－1)2(x－3)2的拐点个数为________。

下列各题中均假定f’(x0)存在，按照导数定义，求出下列各题中A的值。

在曲线y=x2(x≥0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为,试求：由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。

若A是n阶实对称矩阵，证明：A2=O与A=O可以相互推出.

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．求a，b的值．

设3阶方阵A=(a，11，r2)，B=(β，r1，r2)，其中a，β，r1，r2都是3维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A-2B｜=_________．

设y=x5+5x-tan(x2+1)，则y’=________

下列哪个指标不能作为流行病学实验研究的评价指标

某患者，从马车上摔下，头后枕部着地，颈部活动受限，下颈椎压痛明显，四肢瘫，躯干感觉平面在胸骨柄以下，痛温觉消失，不能自行排尿，诊断首先考虑

转移登记、变更登记、他项权利登记、注销登记的发证时限均为30日。()

下列不是合同中当事人双方解决争议的方式有(　　)。

某市一家企业，2013年发生以下业务：(1)企业2013年拥有货车30辆、挂车20辆，每辆整备质量均为5吨；(2)该企业占地情况如下：厂房58000平方米，办公楼占地6000平方米，厂办子弟学校3000平方米，厂办职工食堂及对外餐厅2000平方

根据《票据法》的规定，下列汇票不得进行背书转让的有()。

下列选项中属于中国古代宫殿布局特点的有()。

在浏览Web页的过程中，你一定会发现有一些自己喜欢的Web页，并希望以后多次访问，应当使用的方法是为这个页面(45)。

Whatsystemisbeingchanged?

A、HemethisbossinBeijing.B、Hearrivedatthestationontime.C、Hemissedthemeetingwithhisboss.D、Hecalledhisboss.

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设3阶方阵A=(a，11，r2)，B=(β，r1，r2)，其中a，β，r1，r2都是3维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A-2B｜=_________．

设y=x5+5x-tan(x2+1)，则y’=________

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下列不是合同中当事人双方解决争议的方式有( )。

某市一家企业，2013年发生以下业务：(1)企业2013年拥有货车30辆、挂车20辆，每辆整备质量均为5吨；(2)该企业占地情况如下：厂房58000平方米，办公楼占地6000平方米，厂办子弟学校3000平方米，厂办职工食堂及对外餐厅2000平方

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