设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切χ∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

admin2016-06-30 63

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切χ∈Rⁿ，有｜χ^TAχ｜≤cχ^Tχ．
(2)若A正定，则对任意正整数k，A^k也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c＝max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}，则存在正交变换χ＝Py，使χ^TAχ＝[*]λ_iy_i²，且y^Ty＝χ^Tχ，故｜χ^TAχ｜＝[*]＝cy^Ty＝cχ^Tχ． (2)设A的特征值为λ₁，…，λ_n，则λ_i＞0(i＝1，…，n)，于是，由A^k的特征值为λ₁^k，…，λ_n^k，它们全都大于0，可知A^k为正定矩阵． (3)因为(A＋aE)^T＝A＋aE，所以A＋aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n，则A＋aE的特征值为λ₁＋a，…，λ_n＋a．若取a＝max{｜λ₁｜＋1，…，｜λ_n｜＋1}，则λ_i＋a≥λ_i＋｜λ_i｜＋1≥1，所以A＋aE正定．

解析

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考研数学二

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设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切χ∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

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