2. 考研
  3. 设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切χ∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切χ∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

admin2016-06-30  43
问题 设A是n阶实对称矩阵．证明：
    (1)存在实数c，使对一切χ∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ．
    (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵．
    (3)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．
选项
答案(1)设A的特征值为λ1，λ2，…，λn．令c＝max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜}，则存在正交变换χ＝Py，使χTAχ＝[*]λiyi2，且yTy＝χTχ，故｜χTAχ｜＝[*]＝cyTy＝cχTχ． (2)设A的特征值为λ1，…，λn，则λi＞0(i＝1，…，n)，于是，由Ak的特征值为λ1k，…，λnk，它们全都大于0，可知Ak为正定矩阵． (3)因为(A＋aE)T＝A＋aE，所以A＋aE对称．又若A的特征值为λ1，…，λn，则A＋aE的特征值为λ1＋a，…，λn＋a．若取a＝max{｜λ1｜＋1，…，｜λn｜＋1}，则λi＋a≥λi＋｜λi｜＋1≥1，所以A＋aE正定．
解析
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考研数学二

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