设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数, 证明:(1)存在;(2)反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散.

admin2016-09-13  57

问题 设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数,

证明:(1)存在;(2)反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散.

选项

答案(1)由f(x)单调减少,故当k≤x≤k+1时, f(k+1)≤f(x)≤f(k). 两边从k到k+1积分,得 ∫kk+1f(k+1)dx≤∫kk+1f(x)dx≤∫kk+1f(k)dx, 即f(k+1)≤∫kk+1f(x)dx≤f(k). [*] 即{an}有下界.又 an+1-an=f(n+1)-∫nn+1f(x)dx≤0,即数列{an}单调减少,所以[*]存在. (2)由于f(x)非负,所以∫1xf(t)dt为x的单调增加函数.当n≤x≤n+1时, ∫1nf(t)dt≤∫1xf(t)dt≤∫1n+1f(t)dt, 所以 ∫1+∞f(x)dx收敛<=>[*]f(x)dx存在. 由(1)知[*]存在,所以 [*]f(k)存在<=>[*]f(x)dx存在. 从而推知 ∫1+∞f(x)dx<=>[*]f(n)收敛.

解析
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