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设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数, 证明:(1)存在;(2)反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散.
设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数, 证明:(1)存在;(2)反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散.
admin
2016-09-13
54
问题
设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数,
证明:(1)
存在;(2)反常积分∫
1
+∞
f(x)dx与无穷级数
同敛散.
选项
答案
(1)由f(x)单调减少,故当k≤x≤k+1时, f(k+1)≤f(x)≤f(k). 两边从k到k+1积分,得 ∫
k
k+1
f(k+1)dx≤∫
k
k+1
f(x)dx≤∫
k
k+1
f(k)dx, 即f(k+1)≤∫
k
k+1
f(x)dx≤f(k). [*] 即{a
n
}有下界.又 a
n+1
-a
n
=f(n+1)-∫
n
n+1
f(x)dx≤0,即数列{a
n
}单调减少,所以[*]存在. (2)由于f(x)非负,所以∫
1
x
f(t)dt为x的单调增加函数.当n≤x≤n+1时, ∫
1
n
f(t)dt≤∫
1
x
f(t)dt≤∫
1
n+1
f(t)dt, 所以 ∫
1
+∞
f(x)dx收敛<=>[*]f(x)dx存在. 由(1)知[*]存在,所以 [*]f(k)存在<=>[*]f(x)dx存在. 从而推知 ∫
1
+∞
f(x)dx<=>[*]f(n)收敛.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/NDT4777K
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考研数学三
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