2. 公务员
  3. 阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为，r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，即：AB.r1＋AC.r2＝AB.h，所以r1＋r2＝h． (1)理解与应用

阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为，r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，即：AB.r1＋AC.r2＝AB.h，所以r1＋r2＝h． (1)理解与应用

admin2015-12-09  153
问题 阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为，r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，即：AB.r1＋AC.r2＝AB.h，所以r1＋r2＝h．
    (1)理解与应用
    如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边三角形ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3．试证明：r1＋r2＋r3＝．
    (2)类比与推理
    边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于_______．
    (3)拓展与延伸
    若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…，rn，请问r1＋r2＋…＋rn是否为定值(用含n的式子表示)，如果是，请合理猜测出这个定值．
选项
答案(1)如图1所示，连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D， 所以∠ADB＝90°， 又因为AABC是等边三角形，所以AB＝BC＝CA＝2，∠ABC＝60°， 所以∠BAD＝30°，BD＝1，AD＝[*]， 又因为S△ABP＋S△BCP＋S△ACP＝S△ABC， 所以[*] 即r1＋r2＋r3＝[*]． [*] (2)如图2所示，过点P作EG⊥AB于E，交CD于G，过点P作FH⊥AD于H，交BC于F． 所以EG上CD，FH⊥BC， 因为四边形ABCD是正方形， 所以点P到四个边的距离和PE＋PF＋PG＋PH＝EG＋FH＝BC＋AB＝2AB＝2×2＝4． [*] (3)设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2． 所以正n边形的面积S＝[*]． 又因为正n边形的面积S＝[*]×2×rn＝nr， 整理得r1＋r2＋…＋rn＝[*] 所以r1＋r2＋…＋rn为定值，为[*]．
解析
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