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  3. 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数．

证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数．

admin2022-11-23  2
问题 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数．
选项
答案设f(x)是连续的奇函数，则F(x)=∫0xf(t)dt+C是f(x)的所有原函数，而 F(-x)=∫0-xf(t)dt+C[*]-∫0xf(-u)du+C=∫0xf(u)du+C=F(x)， 所以F(x)是偶函数． 若f(x)是连续的偶函数，则F(x)=∫0xf(t)dt是f(x)的一个原函数，则 F(-x)=∫0-xf(t)dt[*]-∫0xf(-u)du=-∫0xf(u)du=-F(x)， 从而F(x)是奇函数． 奇函数要求过原点，因此，连续的偶函数的原函数中只有过原点的那一个是奇函数．
解析
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考研数学三

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