2. 考研
  3. 设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵 P＝，使得p－1AP＝． 又A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量为α＝[2，5，一1]T． (1)求λ0的值； (2)计算(A*)－1； (3)计算行列式｜A*＋E｜．

设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵 P＝，使得p－1AP＝． 又A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量为α＝[2，5，一1]T． (1)求λ0的值； (2)计算(A*)－1； (3)计算行列式｜A*＋E｜．

admin2016-01-25  52
问题 设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵
   P＝，使得p－1AP＝．
又A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量为α＝[2，5，一1]T．
(1)求λ0的值；  
(2)计算(A*)－1；  
(3)计算行列式｜A*＋E｜．
选项
答案(1)由题设，有AP＝P[*]，令P＝[α1，α2，α3]，其中 [*] 则 Aα1＝1.α1，Aα2＝2.α2，Aα3＝－1.α3 即α1，α2，α3是属于3个不同特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－1的特征向量．而A为三阶实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，则 [*] 解得 a＝0，b＝－2 又A*α＝λ0α，而α＝－α3，于是有 A*(－α3)＝λ0(－α3)，即A*α3＝λ0α3 从而 AA*α3＝λ0Aα3，｜A｜α3＝λ0Aα3 可见 [*] 又 Aα3＝(－1)α3，因此有－[*]＝λ3＝－1，故λ0＝2 (2)由Aα1＝1.α1，Aα2＝2.α2，Aα3＝－1.α3及 [*] 有A[α1，α2，α3]＝[α1，2α2，－α3]．于是 A＝[α1，2α2，－α3][α1，α2，α3]－1 [*] (3)由Aαi＝λiαi(i＝1，2，3)，有A*αi＝[*]555αi，进而有 (A*＋E)αi＝([*]556＋1)αi， 可见A*＋E的特征值为 [*] 即 μ1＝一1， μ2＝0， μ3＝3． 故 ｜A*＋E｜μ1μ2μ3＝0．
解析 利用实对称矩阵的特征向量正交性可求出a，b，再由A的特征值1，2，一1，可求得A*的特征值，从而求得A*＋E的特征值，于是其行列式易求得，只需用公式(A*)－1＝A／｜A｜即可求得(A*)－1
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考研数学三

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