设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵 P=,使得p-1AP=. 又A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量为α=[2,5,一1]T. (1)求λ0的值; (2)计算(A*)-1; (3)计算行列式|A*+E|.

admin2016-01-25  30

问题 设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵
   P=,使得p-1AP=
又A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量为α=[2,5,一1]T
(1)求λ0的值;  
(2)计算(A*)-1;  
(3)计算行列式|A*+E|.

选项

答案(1)由题设,有AP=P[*],令P=[α1,α2,α3],其中 [*] 则 Aα1=1.α1,Aα2=2.α2,Aα3=-1.α3 即α1,α2,α3是属于3个不同特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-1的特征向量.而A为三阶实对称矩阵,其不同特征值对应的特征向量必正交,则 [*] 解得 a=0,b=-2 又A*α=λ0α,而α=-α3,于是有 A*(-α3)=λ0(-α3),即A*α3=λ0α3 从而 AA*α3=λ03,|A|α3=λ03 可见 [*] 又 Aα3=(-1)α3,因此有-[*]=λ3=-1,故λ0=2 (2)由Aα1=1.α1,Aα2=2.α2,Aα3=-1.α3及 [*] 有A[α1,α2,α3]=[α1,2α2,-α3].于是 A=[α1,2α2,-α3][α1,α2,α3]-1 [*] (3)由Aαi=λiαi(i=1,2,3),有A*αi=[*]555αi,进而有 (A*+E)αi=([*]556+1)αi, 可见A*+E的特征值为 [*] 即 μ1=一1, μ2=0, μ3=3. 故 |A*+E|μ1μ2μ3=0.

解析 利用实对称矩阵的特征向量正交性可求出a,b,再由A的特征值1,2,一1,可求得A*的特征值,从而求得A*+E的特征值,于是其行列式易求得,只需用公式(A*)-1=A/|A|即可求得(A*)-1
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