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设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵 P=,使得p-1AP=. 又A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量为α=[2,5,一1]T. (1)求λ0的值; (2)计算(A*)-1; (3)计算行列式|A*+E|.
设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵 P=,使得p-1AP=. 又A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量为α=[2,5,一1]T. (1)求λ0的值; (2)计算(A*)-1; (3)计算行列式|A*+E|.
admin
2016-01-25
54
问题
设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵
P=
,使得p
-1
AP=
.
又A的伴随矩阵A
*
有特征值λ
0
,λ
0
所对应的特征向量为α=[2,5,一1]
T
.
(1)求λ
0
的值;
(2)计算(A
*
)
-1
;
(3)计算行列式|A
*
+E|.
选项
答案
(1)由题设,有AP=P[*],令P=[α
1
,α
2
,α
3
],其中 [*] 则 Aα
1
=1.α
1
,Aα
2
=2.α
2
,Aα
3
=-1.α
3
即α
1
,α
2
,α
3
是属于3个不同特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-1的特征向量.而A为三阶实对称矩阵,其不同特征值对应的特征向量必正交,则 [*] 解得 a=0,b=-2 又A
*
α=λ
0
α,而α=-α
3
,于是有 A
*
(-α
3
)=λ
0
(-α
3
),即A
*
α
3
=λ
0
α
3
从而 AA
*
α
3
=λ
0
Aα
3
,|A|α
3
=λ
0
Aα
3
可见 [*] 又 Aα
3
=(-1)α
3
,因此有-[*]=λ
3
=-1,故λ
0
=2 (2)由Aα
1
=1.α
1
,Aα
2
=2.α
2
,Aα
3
=-1.α
3
及 [*] 有A[α
1
,α
2
,α
3
]=[α
1
,2α
2
,-α
3
].于是 A=[α
1
,2α
2
,-α
3
][α
1
,α
2
,α
3
]
-1
[*] (3)由Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1,2,3),有A
*
α
i
=[*]555α
i
,进而有 (A
*
+E)α
i
=([*]556+1)α
i
, 可见A
*
+E的特征值为 [*] 即 μ
1
=一1, μ
2
=0, μ
3
=3. 故 |A
*
+E|μ
1
μ
2
μ
3
=0.
解析
利用实对称矩阵的特征向量正交性可求出a,b,再由A的特征值1,2,一1,可求得A
*
的特征值,从而求得A
*
+E的特征值,于是其行列式易求得,只需用公式(A
*
)
-1
=A/|A|即可求得(A
*
)
-1
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0
考研数学三
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