如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、BD、BB1的中点，AA1=2． (1)求异面直线MN、D1P的距离； (2)求二面角N—D1P—M的余弦值．

admin2015-11-17 32

问题如图所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是CC₁、BD、BB₁的中点，AA₁=2．
(1)求异面直线MN、D₁P的距离；
(2)求二面角N—D₁P—M的余弦值．

选项

答案(1)如图建立直角坐标系， [*] (2)M在面BB₁D₁D的射影M’为矩形BB₁D₁D的中心，连接MM’，过M’作M’Q⊥D₁P，连接 MQ，则∠MQM’即为所求二面角．在△D₁B₁P和△PQM’中，已知B₁D₁=[*]，D₁P=3，又M’为矩形BB₁D₁D的中心，P为B₁B的中点，则M’P∥D₁B₁，所以∠M’PQ=∠PD₁B₁，所以△D₁B₁P∽△PQM’， [*]

解析

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如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、BD、BB1的中点，AA1=2． (1)求异面直线MN、D1P的距离； (2)求二面角N—D1P—M的余弦值．

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