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如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC; (2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C—PB—A的余弦值.
如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC; (2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C—PB—A的余弦值.
admin
2015-12-09
19
问题
如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C—PB—A的余弦值.
选项
答案
(1)因为PA垂直圆所在的平面,所以PA⊥BC, 又因为AB为圆的直径,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC, 又因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC. 又因为BC[*]平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC. (2)如图所示,过C点作CD⊥AB于D,过D点作DE⊥PB,连接CE. 则CE⊥PB,故∠CED即为二面角C—PB—A的平面角. 在RtAABC中,AC=1,AB=2,CD⊥AB,求得BD=[*]. 又因为DE⊥PB,所以△BDE∽△BPA,即[*],又PA=1,则BP=[*],得DE=[*]. 在Rt△CDE中,因为[*],解得CE=[*],cos∠CED=[*]. 所以二面角C—PB—A的余弦值为[*]. [*]
解析
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