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已知三元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx其矩阵A各行元素之和均为0,且满足AB+B=0,其中 (Ⅰ)用正交变换把此二次型化为标准形,并写出所用正交变换; (Ⅱ)若A+kE正定,求k的取值.
已知三元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx其矩阵A各行元素之和均为0,且满足AB+B=0,其中 (Ⅰ)用正交变换把此二次型化为标准形,并写出所用正交变换; (Ⅱ)若A+kE正定,求k的取值.
admin
2015-04-30
36
问题
已知三元二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax其矩阵A各行元素之和均为0,且满足AB+B=0,其中
(Ⅰ)用正交变换把此二次型化为标准形,并写出所用正交变换;
(Ⅱ)若A+kE正定,求k的取值.
选项
答案
(Ⅰ)因为A各行元素之和均为0,即 [*] 由此可知λ=0是A的特征值,α
1
=(1,1,1)
T
是λ=0的特征向量. 由AB=一B知一1是A的特征值,α
2
=(1,0,一1)
T
,α
3
=(0,1,一1)
T
是λ=一1的线性无关的特征向量. 因为α
2
,α
3
不正交,将其正交化有 β
1
=α
2
=(1,0,一1)
T
, [*] (Ⅱ)因为A的特征值为一1,一1,0,所以A+栖的特征值为k一1,k一1,k.那么A+kE正定的充分必要条件是k>1.
解析
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考研数学二
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