已知三元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx其矩阵A各行元素之和均为0，且满足AB+B=0，其中 (Ⅰ)用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值．

admin2015-04-30 36

问题已知三元二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx其矩阵A各行元素之和均为0，且满足AB+B=0，其中

(Ⅰ)用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值．

选项

答案(Ⅰ)因为A各行元素之和均为0，即 [*] 由此可知λ=0是A的特征值，α₁=(1，1，1)^T是λ=0的特征向量．由AB=一B知一1是A的特征值，α₂=(1，0，一1)^T，α₃=(0，1，一1)^T是λ=一1的线性无关的特征向量．因为α₂，α₃不正交，将其正交化有 β₁=α₂=(1，0，一1)^T， [*] (Ⅱ)因为A的特征值为一1，一1，0，所以A+栖的特征值为k一1，k一1，k．那么A+kE正定的充分必要条件是k＞1．

解析

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考研数学二

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已知三元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx其矩阵A各行元素之和均为0，且满足AB+B=0，其中 (Ⅰ)用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值．

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