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设向量组α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(2,1,1)T,α4=(0,-1,1)T,试求其中的一个部分向量组,使得该部分向量组与原向量组为等价向量组,且向量个数最少.满足条件的向量组是否唯一?
设向量组α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(2,1,1)T,α4=(0,-1,1)T,试求其中的一个部分向量组,使得该部分向量组与原向量组为等价向量组,且向量个数最少.满足条件的向量组是否唯一?
admin
2022-06-08
54
问题
设向量组α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
,α
3
=(2,1,1)
T
,α
4
=(0,-1,1)
T
,试求其中的一个部分向量组,使得该部分向量组与原向量组为等价向量组,且向量个数最少.满足条件的向量组是否唯一?
选项
答案
解法1从一个无关部分组出发,逐步添加向量. 显然,向量α
1
,α
2
不成比例,为无关部分组,于是,从α
1
,α
2
出发,逐个添加向量,由 |α
1
,α
2
,α
3
|=[*]=0,|α
1
,α
2
,α
4
|=[*]=0。 知向量组α
1
,α
2
,α
3
和α
1
,α
2
,α
4
线性相关,即该无关部分组不能再扩展,而且可以将向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,即α
1
,α
2
为满足条件的部分向量组.容易验证,原向量组的任意两个向量组成的部分组均满足条件,从而知,满足条件的部分向量组不唯一.它们共同的特点是都是无关部分组,均与原向量组等价,故相互等价,而且向量个数相同. 解法2用初等变换.由 (α
1
,α
2
,α
3
,α
4
) [*] 知r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=2,因此,满足条件的部分无关组即最大无关组,由其中任意两个无 关向量构成,也即向量组α
1
,α
2
,或α
1
,α
3
,或α
1
,α
4
,或α
2
,α
3
,或α
2
,α
4
,或α
3
,α
4
,不唯一.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/NoSa777K
本试题收录于:
经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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