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  3. 设向量组α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T，α3=(2，1，1)T，α4=(0，－1，1)T，试求其中的一个部分向量组，使得该部分向量组与原向量组为等价向量组，且向量个数最少．满足条件的向量组是否唯一?

设向量组α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T，α3=(2，1，1)T，α4=(0，－1，1)T，试求其中的一个部分向量组，使得该部分向量组与原向量组为等价向量组，且向量个数最少．满足条件的向量组是否唯一?

admin2022-06-08  53
问题 设向量组α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T，α3=(2，1，1)T，α4=(0，－1，1)T，试求其中的一个部分向量组，使得该部分向量组与原向量组为等价向量组，且向量个数最少．满足条件的向量组是否唯一?
选项
答案解法1从一个无关部分组出发，逐步添加向量． 显然，向量α1，α2不成比例，为无关部分组，于是，从α1，α2出发，逐个添加向量，由 |α1，α2，α3|=[*]=0，|α1，α2，α4|=[*]=0。 知向量组α1，α2，α3和α1，α2，α4线性相关，即该无关部分组不能再扩展，而且可以将向量组α1，α2，α3，α4线性表示，即α1，α2为满足条件的部分向量组．容易验证，原向量组的任意两个向量组成的部分组均满足条件，从而知，满足条件的部分向量组不唯一．它们共同的特点是都是无关部分组，均与原向量组等价，故相互等价，而且向量个数相同． 解法2用初等变换．由 (α1，α2，α3，α4) [*] 知r(α1，α2，α3，α4)=2，因此，满足条件的部分无关组即最大无关组，由其中任意两个无 关向量构成，也即向量组α1，α2，或α1，α3，或α1，α4，或α2，α3，或α2，α4，或α3，α4，不唯一．
解析
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经济类联考综合能力

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