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“不等式”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生能“通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次不
“不等式”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生能“通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次不
admin
2015-08-13
83
问题
“不等式”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生能“通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简单应用:体会不等式、方程及函数之间的联系。”
(1)请设计一道利用不等式知识解决的实际问题并求解;
(要求:给出问题情境;抽象出数量关系;建立数学模型;写出解答过程、讨论和反思。)
(2)根据上面的问题情境设计一道开放题或探索题。
选项
答案
(1)问题情境:某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现有增加22%,人均粮食产量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)? 分析:此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景,给出两组数据,要求考生从两条线索抽象数列模型,然后进行比较与决策。 读题:问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率,其中人均粮食占有量P=[*],主要关系是:P
实际
≥P
规划
。 建模:设耕地面积平均每年至多减少x公顷,现在粮食单产为a吨/公顷,现在人口数为m,则现在占有量为[*],10年后粮食单产为a(1+0.22),人口数为m(1+0.01)
10
,耕地面积为(10
4
-10x)。 [*] 即1.22(10
4
-10x)≥1.1×10
4
×(1+0.01)
10
解答过程:[*] ∵(1+0.01)
10
=1+C
1
10
×0.01+C
2
10
×0.01
2
+C
3
10
×0.01
3
+…≈1.1046 ∴x≤10
3
-955.9≈4(公顷) 评价:答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情,又验算无误,故可作答。 讨论与反思:本题主要是抓住各量之间的关系,注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列,总人口数为等比数列模型,问题用不等式模型求解。本题的解法是建立不等式模型,要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型。也可以把它作为数列模型,相比之下,主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。在解答应用问题时。我们强调“评价”这一步不可少!它是解题者的自我调节,比如本题求解过程中若令1.01
10
≈1,算得结果为x≤98公顷,自然会问:耕地减少这么多,符合国家保持耕地的政策吗?于是进行调控,检查发现是错在1.01
10
的近似计算上。 (2)甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数f(x),g(x)以及任意的x≥0,当甲公司投入x万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元,则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险;当乙公司投入x万元作宣传时,若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元,则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险。否则没有失败的风险。 ①试解释.f(0)=10,g(0)=20的实际意义; ②设[*],甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司各应投入多少宣传费?
解析
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数学学科知识与教学能力
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