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  3. “不等式”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生能“通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不

“不等式”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生能“通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不

admin2015-08-13  63
问题 “不等式”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生能“通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用：体会不等式、方程及函数之间的联系。”
    (1)请设计一道利用不等式知识解决的实际问题并求解；
    (要求：给出问题情境；抽象出数量关系；建立数学模型；写出解答过程、讨论和反思。)
    (2)根据上面的问题情境设计一道开放题或探索题。
选项
答案(1)问题情境：某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)? 分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。 读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P=[*]，主要关系是：P实际≥P规划。 建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为[*]，10年后粮食单产为a(1+0．22)，人口数为m(1+0．01)10，耕地面积为(104-10x)。 [*] 即1．22(104-10x)≥1．1×104×(1+0．01)10 解答过程：[*] ∵(1+0．01)10=1+C110×0．01+C210×0．012+C310×0．013+…≈1．1046 ∴x≤103-955．9≈4(公顷) 评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答。 讨论与反思：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题的解法是建立不等式模型，要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型。也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。在解答应用问题时。我们强调“评价”这一步不可少!它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1．0110≈1，算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗?于是进行调控，检查发现是错在1．0110的近似计算上。 (2)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)以及任意的x≥0，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险。否则没有失败的风险。 ①试解释．f(0)=10，g(0)=20的实际意义； ②设[*]，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费?
解析
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