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  3. 证明方程xe2x一2x一COSX+x2/2=0有且仅有两个根．

证明方程xe2x一2x一COSX+x2/2=0有且仅有两个根．

admin2016-12-16  49
问题 证明方程xe2x一2x一COSX+x2/2=0有且仅有两个根．
选项
答案令f(x)=xe2x一2x一cosx+x2/2，则f(x)为连续函数，且 f(一1)=一e一2+2一cos1+1/2 =1一e一2+1一cos1+1/2＞0， f(0)=一1＜0， f(1)=e2一2一cos1+1/2＞0． 根据零点定理知，f(x)=0在(一1，1)内有两个实根． 下证f(x)=0在(一1，1)内不可能有三个根．事实上，如果f(x)在(一1，1)内有三个实根，不妨设为x1 ，x2 ，x3 ，则 f(x1)=f(x2)=f(x3)=0． 由于f(x)二阶可导，故存在ξ∈(x1 ，x3)使f"(ξ)=0，但这是不可能的．这是因为 f’(x)=e2x(1+2x)一2+sinx+x， f"(x)=4e2x±(1+x)+cosx+l＞0，x∈(一1，1)． 此外当x＜一1时，f’(x)＜0，当x＞1时，f’(x)＞0，而f(一1)＜0，f(1)＞0，故函数f (x)在区间(一∞，一1)内单调减少且f(x)＜0；在(1，+∞)内f(x)单调增加，且f(x)＞0，故在(一∞，一1)内及在(1，+∞)内f(x)不可能有根，因而f(x)=0仅有两根．
解析 为证题设方程有两个根，需在两个区间利用零点定理，为此要找出三点，函数f(x)=xe2x一2x一cosx+x2/2在此三点相继反号．为证f(x)=0仅有两根，还要利用f(x)的单调性．
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考研数学三

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