在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与z轴平行．

admin2015-06-30 63

问题在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与z轴平行．

选项

答案设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 [*] 令y=0，得X=x+yy’，该点到x轴法线段PQ的长度为[*] 由题意得[*]，即yy"=1+y’²．令y’=p，则[*]，两边积分得[*]，由y(1)=1，y’(1)=0得C₁=0，所以[*]，变量分离得[*]，两边积分得[*]=±x+C₂，由y(1)=1得C₂=[*] [*] 两式相加得[*]

解析

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