已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求∫xfˊ(x)dx．

admin2016-09-13 78

问题已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求∫xfˊ(x)dx．

选项

答案由于∫xfˊ(x)dx=xf(x)－∫f(x)dx，又由于(1+sinx)lnx为f(x)的一个原函数，因此f(x)=[(1+sinx)lnx]ˊ=cosxlnx+[*]，且∫f(x)dx=(1+sinx)lnx+C，故 ∫xfˊ(x)=x(cosxlnx+[*])－(1+sinx)lnx+C．

解析

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考研数学三

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证明[*]
设函数f(x)＝(x2－3x＋2)sinx，则方程fˊ(x)＝0在(0，π)内根的个数为()。
求下列初值问题的解：(1)y〞－3yˊ＋2y－1，y｜x＝0＝2，yˊ｜x＝0＝2；(2)y〞＋y＋sin2x＝0，y｜x＝π＝1，yˊ｜x＝π＝1；(3)y〞－yˊ＝2(1－x)，y｜x＝0＝1，yˊ｜x＝0＝1；(4)y〞＋y＝ex＋cosx，
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求下列微分方程的通解(1)xyˊ＋y－2y3＝0；(2)xyˊlnx＋y＝x(1＋lnx)；(3)yˊ＋ex(1－e－y)＝0；(4)yy〞－yˊ2－1＝0．
设函数f(x)对于闭区间[a，b]上的任意两点x，y，恒有｜f(x)－f(y)｜≤L｜x－y｜，其中L为正的常数，且f(a)·f(b)＜0．证明：至少有一点ε∈(a，b)，使得f(ε)＝0．

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