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  3. 求下列方程的通解： (Ⅰ)y〞－3y′＝2－6φ； (Ⅱ)y〞＋y＝cosχcos2χ．

求下列方程的通解： (Ⅰ)y〞－3y′＝2－6φ； (Ⅱ)y〞＋y＝cosχcos2χ．

admin2016-10-21  101
问题 求下列方程的通解：
    (Ⅰ)y〞－3y′＝2－6φ；    (Ⅱ)y〞＋y＝cosχcos2χ．
选项
答案(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ2－3λ＝λ(λ－3)＝0，所以通解为 [*] 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具形式y*(χ)＝χ(Aχ＋B)，代入原方程，得 [y*(χ)]〞－3[y*(χ)]′＝2A－3(2Aχ＋B)＝－6Aχ＋2A－3B＝2－6χ． 比较方程两端的系数，得[*]解得A＝1，B＝0，即特解为y*(χ)＝χ2．从而，原方程的通解为． y(χ)＝χ2＋C1＋C2e3χ，其中C1，C2为任意常数． (Ⅱ)由于cosχcos2χ＝[*](cosχ＋cos3χ)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求y〞＋y＝[*]cosχ与y〞＋y＝[*]cos3χ的特解y*(χ1)与y*(χ2)，相加就是原方程的特解． 由于相应齐次方程的特征方程为λ2＋1＝0，特征根为±i，所以其通解应为C1cosχ＋C2sinχ；同时y〞＋y＝[*]cosχ的特解应具形式：y1*(χ)＝Aχcosχ＋Bχsinχ，代入原方程，可求得A＝0，B＝[*]．即y1*(χ)＝[*]sinχ． 另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y2*(χ)＝Ccos3χ＋Dsin3χ，代入原方程，可得C＝－[*]，D＝0．这样，即得所解方程的通解为 y(χ)＝[*]cos3χ＋C1cosχ＋C2sinχ，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学二

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