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设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导. (Ⅰ)若f(x)=0,f(x)<0,f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0. (Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导. (Ⅰ)若f(x)=0,f(x)<0,f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0. (Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使
admin
2022-06-19
67
问题
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导.
(Ⅰ)若f(x)=0,f(x)<0,f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)f"(ξ)+f’
2
(ξ)=0.
(Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫
0
b
f(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f"(η)=f(η).
选项
答案
(Ⅰ)因为f’(a)>0,所以存在c∈(a,b),使得f(c)>f(a)=0,因为f(c)f(b)<0.所以存在x
0
∈(c,b),使得f(x
0
)=0.因为f(a)=f(x
0
)=0,由罗尔定理,存在x
1
∈(a,x
0
),使得f’(x
1
)=0. 令φ(x)=f(x)f’(x),由φ(a)=φ(x
1
)=0,根据罗尔定理,存在ξ∈(a,x
1
)[*](a,b),使得φ’(ξ)=0.而φ’(x)=f(x)f"(x)+f’
2
(x),所以f(ξ)f"(ξ)+f’
2
(ξ)=0. (Ⅱ)令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,因为F(a)=F(b)=0,所以由罗尔定理,存在c∈(a,b).使得F’(c)=0,即f(c)=0. 令h(x)=e
x
f(x),由h(a)=h(c)=h(b)=0,根据罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,b),ξ
2
∈(c,b),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0,则h’(x)=e
x
[f(x)+f’(x)],所以f(ξ
1
)+f’(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)+f’(ξ
2
)=0. 再令G(x)=e
-x
[f(x)+f’(x)],由G(ξ
1
)=G(ξ
2
)=0,根据罗尔定理,存在η∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得G’(η)=0,而G’(x)=e
-x
[f"(x)一f(x)]且e
-x
≠0,所以f"(η)=f(η).
解析
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考研数学三
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