2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导． (Ⅰ)若f(x)=0,f(x)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0． (Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导． (Ⅰ)若f(x)=0,f(x)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0． (Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使

admin2022-06-19  65
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．
(Ⅰ)若f(x)=0,f(x)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．
(Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得f"(η)=f(η)．
选项
答案(Ⅰ)因为f’(a)＞0，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0，因为f(c)f(b)＜0．所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0．因为f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在x1∈(a，x0)，使得f’(x1)=0． 令φ(x)=f(x)f’(x)，由φ(a)=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)[*](a，b)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=f(x)f"(x)+f’2(x)，所以f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0． (Ⅱ)令F(x)=∫axf(t)dt，因为F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)．使得F’(c)=0，即f(c)=0． 令h(x)=exf(x)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，b)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，则h’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0，f(ξ2)+f’(ξ2)=0． 再令G(x)=e-x[f(x)+f’(x)]，由G(ξ1)=G(ξ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得G’(η)=0，而G’(x)=e-x[f"(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f"(η)=f(η)．
解析
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考研数学三

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