首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导. (Ⅰ)若f(x)=0,f(x)<0,f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0. (Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导. (Ⅰ)若f(x)=0,f(x)<0,f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0. (Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使
admin
2022-06-19
54
问题
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导.
(Ⅰ)若f(x)=0,f(x)<0,f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)f"(ξ)+f’
2
(ξ)=0.
(Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫
0
b
f(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f"(η)=f(η).
选项
答案
(Ⅰ)因为f’(a)>0,所以存在c∈(a,b),使得f(c)>f(a)=0,因为f(c)f(b)<0.所以存在x
0
∈(c,b),使得f(x
0
)=0.因为f(a)=f(x
0
)=0,由罗尔定理,存在x
1
∈(a,x
0
),使得f’(x
1
)=0. 令φ(x)=f(x)f’(x),由φ(a)=φ(x
1
)=0,根据罗尔定理,存在ξ∈(a,x
1
)[*](a,b),使得φ’(ξ)=0.而φ’(x)=f(x)f"(x)+f’
2
(x),所以f(ξ)f"(ξ)+f’
2
(ξ)=0. (Ⅱ)令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,因为F(a)=F(b)=0,所以由罗尔定理,存在c∈(a,b).使得F’(c)=0,即f(c)=0. 令h(x)=e
x
f(x),由h(a)=h(c)=h(b)=0,根据罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,b),ξ
2
∈(c,b),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0,则h’(x)=e
x
[f(x)+f’(x)],所以f(ξ
1
)+f’(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)+f’(ξ
2
)=0. 再令G(x)=e
-x
[f(x)+f’(x)],由G(ξ
1
)=G(ξ
2
)=0,根据罗尔定理,存在η∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得G’(η)=0,而G’(x)=e
-x
[f"(x)一f(x)]且e
-x
≠0,所以f"(η)=f(η).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OJR4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设X~U(-1,1),Y=X2,判断X,Y的独立性与相关性.
一民航班车上有20名旅客,自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,以X表示停车次数,求E(X)(设每位旅客下车是等可能的).
随机变量X的密度函数为f(x)=ke|x|(-∞<x<+∞),则E(X2)=_______.
若E(XY)=E(X)E(Y),则().
设X,Y为两个随机变量,若E(XY)W-=E(X)E(Y),则().
有三个盒子,第一个盒子有4个红球1个黑球,第二个盒子有3个红球2个黑球,第三个盒子有2个红球3个黑球,如果任取一个盒子,从中任取3个球,以X表示红球个数.(1)写出X的分布律;(2)求所取到的红球数不少于2个的概率.
设随机变量X的数学期望和方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ2,用切比雪夫不等式估计P{|X-μ|<3σ}.
求微分方程xy=x2+y2满足初始条件y(e)=2e的特解.
在t=0时,两只桶内各装10L的盐水,盐的浓度为15g/L,用管子以2L/min的速度将净水输入到第一只桶内,搅拌均匀后的混合液又由管子以2L/min的速度被输送到第二只桶内,再将混合液搅拌均匀,然后用1L/min的速度输出.求在任意时刻t>0,从第二只桶
设f(x)为连续函数,且满足f(xt)dt=f(x)+xsinx,则f(x)=_____________.
随机试题
根据我国法律规定,申请人向有关法院申请执行香港地区作出的仲裁裁决时,裁决书需是()
甲状腺巨细胞型未分化癌的病理组织学特点是
肌力训练的适应证是
孕妇,妊娠35周,有不规律子宫收缩,胎膜未破,宫口未开,胎心142次/分,估计胎儿大小为2200g。目前的处理原则是
家庭的半自动洗衣机,经过多次维修也无法使用,准备购买全自动的新洗衣机,这一措施属于对( )。
著作权中的财产权不包括()。
《春秋》是我国一部经典著作,下列关于这部著作的说法正确的一项是()。
近日,火星车在加勒陨坑拍摄的图像发现,火星陨坑内的远古土壤存在着类似地球土壤裂纹剖面的土壤样本,通常这样的土壤存在于南极干燥谷和智利阿塔卡马沙漠,这暗示着远古时期火星可能存在生命。以下哪项如果为真,最能支持上述结论?
一家食品店从周一到周日,每天都有3种商品特价销售。可供特价销售的商品包括3种蔬菜:G、H和J;3种水果:K、L和O;3种饮料:X、Y和Z。必须根据以下条件安排特价商品:(1)每天至少有一种蔬菜特价销售,每天至少有一种水果特价销售(2)无论在
有以下程序:#include<iostream>usingnamespacestd;#definePI3.14classPoint{private:intx,y
最新回复
(
0
)