[2012年]设Ik=∫0kπex2sinxdx(k=1，2，3)，则有( )．

admin2021-01-15 69

问题 [2012年]设I_k=∫₀^kπe^x²sinxdx(k=1，2，3)，则有( )．

选项 A、I₁＜I₂＜I₃
B、I₃＜I₂＜I₁
C、I₂＜I₃＜I₁
D、I₂＜I₁＜I₃

答案D

解析由题设有I₁=∫₀^πe^x²sinxdx，I₂=∫₀^2πe^x²sinxdx，I₃=∫₀^3πe^x²sinxdx，则
I₂一I₁=∫₀^2πe^x²sinxdx—∫₀^πe^x²sinxdx
=∫_π^2πe^x²sinxdx＜0 (因sinx＜0)，故I₁＞I₂．
又I₃一I₂=∫₀^3πe^x²sinxdx—∫₀^2πe^x²sinxdx
=∫_2π^3πe^x²sinxdx＞0 (因sinx＞0)，故I₃＞I₂
I₃一I₁=∫₀^3πe^x²sinxdx—∫₀^πe^x²sinxdx
=∫_π^3πe^x²sinxdx

∫_-π^πe^(y+2π)²sin(y+2π)dy
=∫_-π^πe^(y+2π)²sinydy=∫₀^πe^(y+2π)²sinydy+∫_-π⁰e^(y+2π)²sinydy，
而 ∫_-π⁰e^(y+2π)²siny dy

∫_π⁰e^(2π-t)²sintdt=-∫₀^πe^(2π-t)²sintdt，
因e^(y+2π)²siny＞e^(-y+2π)²siny(0＜y＜π)，则I₃一I₁＞0，故I₃＞I₁＞I₂．仅D入选．[img][/img]

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