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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,其中a>0且f(a)=0.证明:在(a,b)内存在一点ξ,使f(ξ)=f’(ξ)。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,其中a>0且f(a)=0.证明:在(a,b)内存在一点ξ,使f(ξ)=f’(ξ)。
admin
2018-05-25
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问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,其中a>0且f(a)=0.证明:在(a,b)内存在一点ξ,使f(ξ)=
f’(ξ)。
选项
答案
作辅助函数F(x)=(b一x)
a
f(x),由题设F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,已知f(a)=0,则F(a)=(b—a)
a
f(a)=0,F(b)=(b—b)
a
f(b)=0。 由上述可知F(x)在[a,b]上满足罗尔定理。于是,存在一点ξ∈(a,b),使F’(ξ)=0,即 一a(b—ξ)
a—1
f(ξ)+(b—ξ)
a
f’(ξ)=0, 故 f(ξ)=[*]f’(ξ)。
解析
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考研数学一
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