2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，其中a＞0且f(a)=0．证明：在(a，b)内存在一点ξ，使f(ξ)=f’(ξ)。

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，其中a＞0且f(a)=0．证明：在(a，b)内存在一点ξ，使f(ξ)=f’(ξ)。

admin2018-05-25  56
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，其中a＞0且f(a)=0．证明：在(a，b)内存在一点ξ，使f(ξ)=f’(ξ)。
选项
答案作辅助函数F(x)=(b一x)af(x)，由题设F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，已知f(a)=0，则F(a)=(b—a)af(a)=0，F(b)=(b—b)af(b)=0。 由上述可知F(x)在[a，b]上满足罗尔定理。于是，存在一点ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即 一a(b—ξ)a—1f(ξ)+(b—ξ)af’(ξ)=0， 故 f(ξ)=[*]f’(ξ)。
解析
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考研数学一

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