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设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ2＋b2χ2＋b3χ3)2， 记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT； (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12
设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ2＋b2χ2＋b3χ3)2， 记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT； (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12
admin
2016-05-09
79
问题
设二次型f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝2(a
1
χ
1
＋a
2
χ
2
＋a
3
χ
3
)
2
＋(b
1
χ
2
＋b
2
χ
2
＋b
3
χ
3
)
2
，
记
(1)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
＋ββ
T
；
(2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
＋y
2
2
．
选项
答案
(1)f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝2(a
1
χ
1
＋a
2
χ
2
＋a
3
χ
3
)
2
＋(b
1
χ
1
＋b
2
χ
2
＋b
3
χ
3
)
2
＝2(χ
1
，χ
2
，χ
3
)[*](a
1
，a
2
，a
3
)[*]＋(χ
1
，χ
2
，χ
3
)[*](b
1
，b
2
，b
3
)[*] ＝(χ
1
，χ
2
，χ
3
)(2αα
T
)[*]＋(χ
1
，χ
2
，χ
3
)(ββ
T
)[*] ＝(χ
1
，χ
2
，χ
3
)(2αα
T
＋ββ
T
)[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα
T
＋ββ
T
． (2)设A＝2αα
T
＋ββ
T
，由｜α｜＝1，β
T
α＝0，则 Aα＝(2αα
T
＋ββ
T
)α＝2α｜α｜
2
＋ββ
T
α＝2α， 所以α为矩阵对应特征值λ
1
＝2的特征向量； Aβ＝(2αα
T
＋ββ
T
)β＝2αα
T
β＋β｜β｜
2
＝β， 所以β为矩阵对应特征值λ
2
＝1的特征向量． 而矩阵A的秩 r(A)＝r(2αα
T
＋ββ
T
)≤r(2αα
T
)＋r(ββ
T
)＝2， 所以λ
3
＝0也是矩阵的一个特征值．故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
＋y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6gw4777K
0
考研数学一
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[*]
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