设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ2＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT； (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12

admin2016-05-09 38

问题设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)²＋(b₁χ₂＋b₂χ₂＋b₃χ₃)²，
记

(1)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T；
(2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

选项

答案(1)f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)²＋(b₁χ₁＋b₂χ₂＋b₃χ₃)² ＝2(χ₁，χ₂，χ₃)[*](a₁，a₂，a₃)[*]＋(χ₁，χ₂，χ₃)[*](b₁，b₂，b₃)[*] ＝(χ₁，χ₂，χ₃)(2αα^T)[*]＋(χ₁，χ₂，χ₃)(ββ^T)[*] ＝(χ₁，χ₂，χ₃)(2αα^T＋ββ^T)[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T． (2)设A＝2αα^T＋ββ^T，由｜α｜＝1，β^Tα＝0，则 Aα＝(2αα^T＋ββ^T)α＝2α｜α｜²＋ββ^Tα＝2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁＝2的特征向量； Aβ＝(2αα^T＋ββ^T)β＝2αα^Tβ＋β｜β｜²＝β，所以β为矩阵对应特征值λ₂＝1的特征向量．而矩阵A的秩 r(A)＝r(2αα^T＋ββ^T)≤r(2αα^T)＋r(ββ^T)＝2，所以λ₃＝0也是矩阵的一个特征值．故f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

解析

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考研数学一

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设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ2＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT； (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12

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设a，Aa，A2a线性无关，且3Aa－2A2a－A3a＝0，其中A为3阶矩阵，a为3维列向量记P＝(a，Aa，A2a)，求3阶矩阵B，使得P-1AP－B，并计算行列式｜A＋E｜

设A为n阶实对称矩阵，且A2A＝A，r(A)＝r(0＜r＜n)，则行列式｜A－2E｜＝________

设f(x)在[0，﹢∞)上连续，且f(x)＝dt在(Ⅱ)的基础上，任取x0＞ξ＞0，xn＝2f(xn－1)(n≥1)，证明：一ξ

设二次型f(x1，x2)＝ax12＋bx22＋4x1x2经过正交变换x＝Qy化为g(y1，y2)＝2y12＋2y1y2二次型f与g的矩阵分别为A与B若AX＝B，求X

设A是n阶矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有两个线性无关的解，则()

设P(x0，y0)为椭圆3x2＋a2y2＝3a2(a＞0)在第一象限部分上的一点，已知在P点处椭圆的切线、椭圆及两坐标轴所围图形D的面积的最小值为2(1－1/4π)求点P的坐标及a的值

设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ，若行列式｜2A｜=－48，则λ=__________．

设χOy平面上有正方形D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1)及直线l：χ＋y＝t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求∫0χS(t)dt(χ≥0)．

设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t2f(t)-f(1)]．试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=2=2/9

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．证明B可逆；

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早产儿，自然分娩，生后6h出现呼吸困难，加重2h，拒乳，口唇青紫，三凹征阳性，两肺闻及湿哕音，X胸片透亮度减低。此患儿最主要的护理诊断是

世界贸易组织的核心原则为()。

职业道德的主要规范有哪些?

“满纸荒唐言，一把辛酸泪。都云作者痴，谁解其中味?”是我国古典文学名著《红楼梦》的开篇诗。()

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