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  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ2＋b2χ2＋b3χ3)2， 记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT； (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ2＋b2χ2＋b3χ3)2， 记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT； (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12

admin2016-05-09  58
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ2＋b2χ2＋b3χ3)2，
    记
    (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT；
    (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．
选项
答案(1)f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2 ＝2(χ1，χ2，χ3)[*](a1，a2，a3)[*]＋(χ1，χ2，χ3)[*](b1，b2，b3)[*] ＝(χ1，χ2，χ3)(2ααT)[*]＋(χ1，χ2，χ3)(ββT)[*] ＝(χ1，χ2，χ3)(2ααT＋ββT)[*] 所以二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (2)设A＝2ααT＋ββT，由｜α｜＝1，βTα＝0，则 Aα＝(2ααT＋ββT)α＝2α｜α｜2＋ββTα＝2α， 所以α为矩阵对应特征值λ1＝2的特征向量； Aβ＝(2ααT＋ββT)β＝2ααTβ＋β｜β｜2＝β， 所以β为矩阵对应特征值λ2＝1的特征向量． 而矩阵A的秩 r(A)＝r(2ααT＋ββT)≤r(2ααT)＋r(ββT)＝2， 所以λ3＝0也是矩阵的一个特征值．故f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．
解析
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考研数学一

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