设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ2＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT； (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12

admin2016-05-09 62

问题设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)²＋(b₁χ₂＋b₂χ₂＋b₃χ₃)²，
记

(1)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T；
(2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

选项

答案(1)f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)²＋(b₁χ₁＋b₂χ₂＋b₃χ₃)² ＝2(χ₁，χ₂，χ₃)[*](a₁，a₂，a₃)[*]＋(χ₁，χ₂，χ₃)[*](b₁，b₂，b₃)[*] ＝(χ₁，χ₂，χ₃)(2αα^T)[*]＋(χ₁，χ₂，χ₃)(ββ^T)[*] ＝(χ₁，χ₂，χ₃)(2αα^T＋ββ^T)[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T． (2)设A＝2αα^T＋ββ^T，由｜α｜＝1，β^Tα＝0，则 Aα＝(2αα^T＋ββ^T)α＝2α｜α｜²＋ββ^Tα＝2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁＝2的特征向量； Aβ＝(2αα^T＋ββ^T)β＝2αα^Tβ＋β｜β｜²＝β，所以β为矩阵对应特征值λ₂＝1的特征向量．而矩阵A的秩 r(A)＝r(2αα^T＋ββ^T)≤r(2αα^T)＋r(ββ^T)＝2，所以λ₃＝0也是矩阵的一个特征值．故f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

解析

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考研数学一

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设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ2＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT； (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12

考研数学一

求z=x2－2y2+2x+4在区域x2+4y2≤4上的最小值和最大值．

[*]

设A＝，为A中aij(i,j＝1，2，3)的代数余子式，二次型的矩阵为B求正交变换x＝Qy将二次型f(x1，x2，x3)化为标准形

已知二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，A是3阶实对称矩阵，满足A2－2A－3E＝O，且｜A｜＝3，则该二次型的规范形为()

设函数y＝y(x)满足x＝dt，x≥0求y(x)满足y关于x的二阶微分方程，并求y(x)的表达式

设a1，a2，a3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，a1＋a2＝(2，0，－2，4)T，a1＋a3＝(3，1，0，5)T，则Ax＝b的通解为________

已知3阶实对称矩阵A与B＝合同，则二次型xTAx的规范形为()

设函数y＝f(x)由参数方程(0＜t≤1)确定证明：y＝f(x)在[1，﹢∞)上单调增加

设一个4元非齐次线性方程组的通解为k1(一1，3，2，1)T+k2(2，一3，2，1)T+(1，2，1，一1)T，其中k1，k2为任意常数，求该4元非齐次线性方程组．

已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak＝0，试证明矩阵E－A可逆，并求出逆矩阵的表达式(层为n阶单位矩阵)．

A、祛暑利湿，补气生津B、祛暑除湿，和胃消食C、祛暑解表，清热生津D、解表化湿，理气和中E、清热解毒，利湿化浊六合定中丸的功效()。

第二类精神药品处方印刷用纸为

抢救青霉素过敏性休克的首选药物是

EVA、PE类聚合物改性沥青混合料的废弃温度为()。

我国对资本主义工商业进行社会主义改造的政策是和平赎买。()

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设f(x)连续，其中V＝{(x，y，z)｜x2＋y2≤t2，0≤z≤h}(t＞0)，求其中，[x]表示不超过x的最大整数．

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