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设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0,试证: 对于(-1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]成立;
设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0,试证: 对于(-1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]成立;
admin
2020-05-02
31
问题
设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0,试证:
对于(-1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]成立;
选项
答案
任给非零x∈(-1,1),由拉格朗日中值定理得 f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x] (0<θ(x)<1) 因为f(x)在(-1,1)内连续且f"(x)≠0,所以f"(x)在(-1,1)内不变号,不妨设f"(x)>0,则f′(x)在(-1,1)内严格递增,故θ(x)唯一.
解析
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考研数学一
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