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证明对于任何m×n实矩阵A,ATA的负惯性指数为0.如果A秩为n,则ATA是正定矩阵.
证明对于任何m×n实矩阵A,ATA的负惯性指数为0.如果A秩为n,则ATA是正定矩阵.
admin
2017-06-08
62
问题
证明对于任何m×n实矩阵A,A
T
A的负惯性指数为0.如果A秩为n,则A
T
A是正定矩阵.
选项
答案
根据惯性定理6.4,只用证明A
T
A的特征值都不为负数,并且在A秩为n时A
T
A的特征值都大于0. 设λ是A的一个特征值,η是属于它的一个特征向量,即有A
T
Aη=λη,于是η
T
A
T
Aη=λη
T
η,即 (Aη,Aη)=λ(η,η).则 λ=(Aη,Aη)/(η,η)≥0. 如果A秩为n,则AX=0没有非零解,从而Aη≠0,(Aη,Aη)>0,因此 λ=(Aη,Aη)/(η,η)>0.
解析
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考研数学二
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