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  3. 证明对于任何m×n实矩阵A，ATA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则ATA是正定矩阵．

证明对于任何m×n实矩阵A，ATA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则ATA是正定矩阵．

admin2017-06-08  89
问题 证明对于任何m×n实矩阵A，ATA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则ATA是正定矩阵．
选项
答案根据惯性定理6．4，只用证明ATA的特征值都不为负数，并且在A秩为n时ATA的特征值都大于0． 设λ是A的一个特征值，η是属于它的一个特征向量，即有ATAη=λη，于是ηTATAη=ληTη，即 (Aη，Aη)=λ(η，η)．则 λ=(Aη，Aη)／(η，η)≥0． 如果A秩为n，则AX=0没有非零解，从而Aη≠0，(Aη，Aη)＞0，因此 λ=(Aη，Aη)／(η，η)＞0．
解析
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考研数学二

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