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  3. 已知矩阵 有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，A*是矩阵A的伴随矩阵，求可逆矩阵P，使P－1A*P为对角矩阵．

已知矩阵 有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，A*是矩阵A的伴随矩阵，求可逆矩阵P，使P－1A*P为对角矩阵．

admin2019-05-14  50
问题 已知矩阵

有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，A*是矩阵A的伴随矩阵，求可逆矩阵P，使P－1A*P为对角矩阵．
选项
答案因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，故λ=5必有两个线性无关的特征向量，因此r(5E—A)=1．由 [*] 得a=0，b=－1．又因5+5+λ3=1+3+5， 知矩阵A的特征值是λ1=λ2=5，λ3=－1． 又｜A｜=λ1．λ2．λ3=－25，伴随矩阵A*的特征值为[*](i=1，2，3)，即－5，－5，25． 解线性方程组(5E—A)x=0，得基础解系 α1=(1，2，0)T， α2=(0，0，1)T． 它是矩阵A的属于特征值λ1=λ2=5的线性无关的特征向量，也是A*的属于特征值－5的线性无关的特征向量． 解线性方程组(－E—A)x=0，得基础解系 α3=(－2，2，1)T． 它是矩阵A的属于特征值λ3=－1的特征向量，也是A*的属于特征值25的特征向量． [*]
解析
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考研数学一

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