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  3. 设随机变量X服从正态分布N(μ，8)，μ未知．现有X的10个观察值χ1，…，χ10，已知＝1500． (Ⅰ)求μ的置信度为0．95的置信区间； (Ⅱ)要想使0．95的置信区间长度不超过l，观察值个数n最少应取多少? (Ⅲ)如果n＝1

设随机变量X服从正态分布N(μ，8)，μ未知．现有X的10个观察值χ1，…，χ10，已知＝1500． (Ⅰ)求μ的置信度为0．95的置信区间； (Ⅱ)要想使0．95的置信区间长度不超过l，观察值个数n最少应取多少? (Ⅲ)如果n＝1

admin2018-06-12  135
问题 设随机变量X服从正态分布N(μ，8)，μ未知．现有X的10个观察值χ1，…，χ10，已知＝1500．
    (Ⅰ)求μ的置信度为0．95的置信区间；
    (Ⅱ)要想使0．95的置信区间长度不超过l，观察值个数n最少应取多少?
    (Ⅲ)如果n＝100，那么区间()作为μ的置信区间时，置信度是多少?
选项
答案(Ⅰ)正态总体的方差已知，求期望值μ的置信区间公式为 [*] 将σ＝[*]，n＝10，[*]＝1500，λ＝1．96代入上式，得到 I＝(1498，1502)， 其中λ由等式P{U｜＜λ}＝0．95(U～N(0，1))确定． (Ⅱ)根据(Ⅰ)中置信区间公式可知置信区间长度l＝[*]λ，由于λ＝1．96，σ＝[*]，l＝1，依题意，应解不等式 [*]×1．96≤1， 得出n≥122．93．因此观察值个数n最少应取123． (Ⅲ)如果置信区间I＝([*])，根据(Ⅰ)中置信区间公式，应有[*]λ＝1．将σ＝[*]，n＝100 代入上式，解出λ＝3．54．其置信度为 1－α＝P{｜U｜＜3．54}＝2Ф(3．54)－1＝0．9996． 求置信度1－α的另一种解法是直接计算概率 [*] ＝2Ф(3．54)－1＝0．9996．
解析
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考研数学一

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