设随机变量X服从正态分布N(μ,8),μ未知.现有X的10个观察值χ1,…,χ10,已知=1500. (Ⅰ)求μ的置信度为0.95的置信区间; (Ⅱ)要想使0.95的置信区间长度不超过l,观察值个数n最少应取多少? (Ⅲ)如果n=1

admin2018-06-12  63

问题 设随机变量X服从正态分布N(μ,8),μ未知.现有X的10个观察值χ1,…,χ10,已知=1500.
    (Ⅰ)求μ的置信度为0.95的置信区间;
    (Ⅱ)要想使0.95的置信区间长度不超过l,观察值个数n最少应取多少?
    (Ⅲ)如果n=100,那么区间()作为μ的置信区间时,置信度是多少?

选项

答案(Ⅰ)正态总体的方差已知,求期望值μ的置信区间公式为 [*] 将σ=[*],n=10,[*]=1500,λ=1.96代入上式,得到 I=(1498,1502), 其中λ由等式P{U|<λ}=0.95(U~N(0,1))确定. (Ⅱ)根据(Ⅰ)中置信区间公式可知置信区间长度l=[*]λ,由于λ=1.96,σ=[*],l=1,依题意,应解不等式 [*]×1.96≤1, 得出n≥122.93.因此观察值个数n最少应取123. (Ⅲ)如果置信区间I=([*]),根据(Ⅰ)中置信区间公式,应有[*]λ=1.将σ=[*],n=100 代入上式,解出λ=3.54.其置信度为 1-α=P{|U|<3.54}=2Ф(3.54)-1=0.9996. 求置信度1-α的另一种解法是直接计算概率 [*] =2Ф(3.54)-1=0.9996.

解析
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