若f(x)在x=0的某个邻域中有连续的一阶导数，f′(0)=0，f″(0)存在，证明：

admin2016-03-30 17

问题若f(x)在x=0的某个邻域中有连续的一阶导数，f′(0)=0，f″(0)存在，证明：

选项

答案∵函数f(x)在x=0的某个领域中有连续的一阶导数所以由拉格郎日中值定理可知，至少存在一点ξ∈(sinx，x)[*](0，δ)，其中0＜σ＜1 使得f(x)－f(sinx)=f′(ξ)(x－sinx) 所以[*]＜1，所以[*]=1(利用夹逼准则可得) 所以当x→0^＋时，ξ～x 所以 [*] [*] 方法二：泰勒中值定理 ∵函数f(x)在x=c的某个邻域中有连续的一阶导数，f′(0)=0，f″(0)存在 ∴由泰勒中值定理可知f(x)=f(0)+f′(0)x+[*] ∴f(sinx)=f(0)+f′(0)sinx+[*] [*]

解析

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数学

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