2. 考研
  3. 设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕z轴旋转一周所得旋转曲面为S. (1)求旋转曲面的方程； (2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间围成立体的体积.

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕z轴旋转一周所得旋转曲面为S. (1)求旋转曲面的方程； (2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间围成立体的体积.

admin2022-08-19  39
问题 设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕z轴旋转一周所得旋转曲面为S.
(1)求旋转曲面的方程；
(2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间围成立体的体积.
选项
答案(1)[*]{-1，1，1}，直线AB的方程为(x-1)/-1=y/1=z/1. 设对任意的M(x，y，z)∈S，过M垂直于x轴的截口为圆，其与直线AB及z轴的交点为M0(x0，y0，z)，T(0，0，z)，由|MT|=|M0T|，得x2+y2=x02+y02， 因为M0在直线AB上，所以有(x0-1)/-1=y0/1=z/1， [*]代入x2+y2=x02+y02中得曲面方程为 S：x2+y2=(1-z)2+z2，即S：x2+y2=2z2-2z+1. (2)对任意的x∈[0，1]，垂直于z轴的截口圆面积为 A(z)=π(x2+y2)=π(2z2-2z+1)， 于是V=∫01A(z)dz=2π/3.
解析
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考研数学三

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