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设点A(1,0,0),B(0,1,1),线段AB绕z轴旋转一周所得旋转曲面为S. (1)求旋转曲面的方程; (2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间围成立体的体积.
设点A(1,0,0),B(0,1,1),线段AB绕z轴旋转一周所得旋转曲面为S. (1)求旋转曲面的方程; (2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间围成立体的体积.
admin
2022-08-19
54
问题
设点A(1,0,0),B(0,1,1),线段AB绕z轴旋转一周所得旋转曲面为S.
(1)求旋转曲面的方程;
(2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间围成立体的体积.
选项
答案
(1)[*]{-1,1,1},直线AB的方程为(x-1)/-1=y/1=z/1. 设对任意的M(x,y,z)∈S,过M垂直于x轴的截口为圆,其与直线AB及z轴的交点为M
0
(x
0
,y
0
,z),T(0,0,z),由|MT|=|M
0
T|,得x
2
+y
2
=x
0
2
+y
0
2
, 因为M
0
在直线AB上,所以有(x
0
-1)/-1=y
0
/1=z/1, [*]代入x
2
+y
2
=x
0
2
+y
0
2
中得曲面方程为 S:x
2
+y
2
=(1-z)
2
+z
2
,即S:x
2
+y
2
=2z
2
-2z+1. (2)对任意的x∈[0,1],垂直于z轴的截口圆面积为 A(z)=π(x
2
+y
2
)=π(2z
2
-2z+1), 于是V=∫
0
1
A(z)dz=2π/3.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OjR4777K
0
考研数学三
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