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  3. 设a1=2，an+1=(n=1，2，…)．证明： (1)an存在； (2)级数收敛．

设a1=2，an+1=(n=1，2，…)．证明： (1)an存在； (2)级数收敛．

admin2019-09-04  98
问题 设a1=2，an+1=(n=1，2，…)．证明：
(1)an存在；
(2)级数收敛．
选项
答案(1)因为an+1=[*]≥1，又an+1-an=[*]≤0 所以{an}n=1∞单调减少，而an≥0，即{an}n=1∞是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则，[*]an存在． (2)由(1)得0≤[*]≤an-an+1， 对级数[*](an-an+1)，Sn=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)=2-an+1， 因为[*]Sn=2-[*]an存在，所以级数[*](an-an+1)收敛，根据比较审敛法，级数[*]收敛．
解析
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考研数学三

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