(1)若A可逆且A～B，证明：A～B； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

admin2016-10-24 77

问题 (1)若A可逆且A～B，证明：A^*～B^*；
(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

选项

答案(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且|A|=|B|．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P^一1AP=B，而A^*=|A|A^一1，B^*=|B|B^一1，于是由P^一1AP=B，得(P^一1AP)^一1=B^一1，即P^一1A^一1P=B^一1，故P^一1|A|A^一1P=|A|B^一1或P^一1A^*P=B^*，于是A^*～B^*． (2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P^一1AP=B，即AP=PB，于是AP=PBPP^一1=P(BP)P^一1，故AP～BP．

解析

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考研数学三

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