2. 考研
  3. (1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

(1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

admin2016-10-24  49
问题 (1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*；
(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．
选项
答案(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且|A|=|B|． 因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P一1AP=B， 而A*=|A|A一1，B*=|B|B一1， 于是由P一1AP=B，得(P一1AP)一1=B一1，即P一1A一1P=B一1， 故P一1|A|A一1P=|A|B一1或P一1A*P=B*，于是A*～B*． (2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P一1AP=B，即AP=PB，于是AP=PBPP一1=P(BP)P一1，故AP～BP．
解析
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考研数学三

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