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设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵，求B的全部特征值与特征向量。
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵，求B的全部特征值与特征向量。
admin
2022-08-12
16
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=-2，α
1
=(1，-1，1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量。记B=A
5
-4A
3
+E，其中E为3阶单位矩阵，求B的全部特征值与特征向量。
选项
答案
易验证A
n
α
1
=λ
1
n
α
1
(n=1，2，3，…)，于是Bα
1
=(A
5
-4A
3
+E)α
1
=(λ
1
5
-4λ
1
3
+1)α
1
=-2α
1
，于是α
1
是矩阵B的特征向量。B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，所以B的全部特征值为-2，1，1。由前述可知，α
1
是矩阵B的属于特征值-2的特征向量，而A为实对称矩阵，于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，而实对称矩阵属于不同的特征值的特征向量正交，故可设B的属于1的特征向量为(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，所以有方程x
1
-x
2
+x
3
=0，求得B的属于1的特征向量为β
2
=(-1，0，1)
T
，β
3
=(1，1，0)
T
。因而，矩阵B属于特征值-2的特征向量是k
1
(1，-1，1)
T
，其中k
1
是不为零的任意常数。矩阵B属于特征值1的特征向量是k
2
(-1，0，1)
T
+k
3
(1，1，0)
T
，其中k
2
，k
3
是不为零的任意常数。
解析
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数学学科知识与教学能力
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