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设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵,求B的全部特征值与特征向量。
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵,求B的全部特征值与特征向量。
admin
2022-08-12
30
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2,α
1
=(1,-1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量。记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵,求B的全部特征值与特征向量。
选项
答案
易验证A
n
α
1
=λ
1
n
α
1
(n=1,2,3,…),于是Bα
1
=(A
5
-4A
3
+E)α
1
=(λ
1
5
-4λ
1
3
+1)α
1
=-2α
1
,于是α
1
是矩阵B的特征向量。B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到,所以B的全部特征值为-2,1,1。由前述可知,α
1
是矩阵B的属于特征值-2的特征向量,而A为实对称矩阵,于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵,而实对称矩阵属于不同的特征值的特征向量正交,故可设B的属于1的特征向量为(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,所以有方程x
1
-x
2
+x
3
=0,求得B的属于1的特征向量为β
2
=(-1,0,1)
T
,β
3
=(1,1,0)
T
。因而,矩阵B属于特征值-2的特征向量是k
1
(1,-1,1)
T
,其中k
1
是不为零的任意常数。矩阵B属于特征值1的特征向量是k
2
(-1,0,1)
T
+k
3
(1,1,0)
T
,其中k
2
,k
3
是不为零的任意常数。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
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