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  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵，求B的全部特征值与特征向量。

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵，求B的全部特征值与特征向量。

admin2022-08-12  31
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵，求B的全部特征值与特征向量。
选项
答案易验证Anα1=λ1nα1(n=1，2，3，…)，于是Bα1=(A5-4A3+E)α1=(λ15-4λ13+1)α1=-2α1，于是α1是矩阵B的特征向量。B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，所以B的全部特征值为-2，1，1。由前述可知，α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量，而A为实对称矩阵，于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，而实对称矩阵属于不同的特征值的特征向量正交，故可设B的属于1的特征向量为(x1，x2，x3)T，所以有方程x1-x2+x3=0，求得B的属于1的特征向量为β2=(-1，0，1)T，β3=(1，1，0)T。因而，矩阵B属于特征值-2的特征向量是k1(1，-1，1)T，其中k1是不为零的任意常数。矩阵B属于特征值1的特征向量是k2(-1，0，1)T+k3(1，1，0)T，其中k2，k3是不为零的任意常数。
解析
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