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  3. 已知函数f(x)=x一alnx(a∈R) (1)当a=2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值。

已知函数f(x)=x一alnx(a∈R) (1)当a=2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值。

admin2015-04-21  52
问题 已知函数f(x)=x一alnx(a∈R)
    (1)当a=2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
    (2)求函数f(x)的极值。
选项
答案函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f’(x)=1一[*]。 (1)当a=2时，f(x)=x一2lnx，f’(x)=1—[*](x＞0)， 因而f’(1)=1，f’(1)=—1， 所以曲线y=f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y—1=—(x—1)， 即x+y—2=0。 (2)由f’(x)=[*]，x＞0知： ①当n≤0时，f’(x)＞0，函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，函数f(x)无极值。 ②当a＞0时，由f’(x)=0，解得x=a。 又当x∈(0，a)时，f’(x)＜0；当x∈(0，+∞)时，f’(x)＞0， 从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a—alna，无极大值。 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>＞0时，函数f(x)在x=a处取得极小值a—alna，无极大值。
解析
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