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设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x),则f(n)(x)=______.
设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x),则f(n)(x)=______.
admin
2017-10-17
54
问题
设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f
3
(x),则f
(n)
(x)=______.
选项
答案
(2n-1)!!f
2n+1
(x)
解析
用归纳法.由f’(x)=f
3
(x=1.f
3
(x)求导得
f’’(x)=1.3f
2
(x)f’(x)=1.3f
5
(x),再求导又得
f’’’(x)=1.3.5f
4
(x)f’(x)=1.3.5f
7
(x),由此可猜想
f
(n)
(x)=1.3…(2n-1)f
2n+1
(x)=(2n-1)!!f
2n+1
(x)(n=1,2,3,…).
设n=k上述公式成立,则有
f
(k+1)
(x)=[f
(k)
(x)]’=[(2k-1)!!f
2k+1
(z)]’
=(2k-1)!!(2k+1)f
2k
(x)f’(x)=(2k+1)!!f
2k+3
(x),
由上述讨论可知当n=1,2,3,…时
f
(n)
(x)=(2n-1)!!f
2n+1
(x)成立.
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考研数学三
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