2. 考研
  3. 设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=______．

设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=______．

admin2017-10-17  40
问题 设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=______．
选项
答案(2n-1)!!f2n+1(x)
解析 用归纳法．由f’(x)=f3(x=1.f3(x)求导得
    f’’(x)=1.3f2(x)f’(x)=1.3f5(x)，再求导又得
    f’’’(x)=1．3.5f4(x)f’(x)=1.3.5f7(x)，由此可猜想
    f(n)(x)=1.3…(2n-1)f2n+1(x)=(2n-1)!!f2n+1(x)(n=1，2，3，…)．
设n=k上述公式成立，则有
f(k+1)(x)=[f(k)(x)]’=[(2k-1)!!f2k+1(z)]’
=(2k-1)!!(2k+1)f2k(x)f’(x)=(2k+1)!!f2k+3(x)，
由上述讨论可知当n=1，2，3，…时
    f(n)(x)=(2n-1)!!f2n+1(x)成立．
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考研数学三

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