设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3, 矩阵A满足AB=0,其中 (I)用正交变换化二次型xTAx为标准形,并写出所用正交变换; (II)求(A一3E)6.

admin2015-04-30  32

问题 设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3
矩阵A满足AB=0,其中
(I)用正交变换化二次型xTAx为标准形,并写出所用正交变换;
(II)求(A一3E)6

选项

答案(Ⅰ)[*] 由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重),α1,α2是λ=0的线性无关的特征向量.根据[*],有0+0+λ3=1+4+1,故知矩阵A有特征值λ=6.因此,矩阵A的特征值是0,0,6. 设λ=6的特征向量为α3=(x1,x2,x3)T,那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,有 [*] (Ⅱ)[*]

解析
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