设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中 (I)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换； (II)求(A一3E)6．

admin2015-04-30 42

问题设二次型x^TAx=x₁²+4x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，
矩阵A满足AB=0，其中

(I)用正交变换化二次型x^TAx为标准形，并写出所用正交变换；
(II)求(A一3E)⁶．

选项

答案(Ⅰ)[*] 由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α₁，α₂是λ=0的线性无关的特征向量．根据[*]，有0+0+λ₃=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ=6．因此，矩阵A的特征值是0，0，6．设λ=6的特征向量为α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 [*] (Ⅱ)[*]

解析

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考研数学三

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