2. 考研
  3. 设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

admin2020-03-05  18
问题 设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．
选项
答案(Ⅰ)利用r(A+B)≤r(A)+r(B)和r(AB)≤min(r(A)，r(B))，有 r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)． 又α，β均为3维列向量，则r(α)≤1，r(β})≤1．故r(A)≤2． (Ⅱ)方法1°当α，β线性相关时，不妨设β=kα，则 r(A)=r(ααT+K2ββT)=r[(1+k2)ααT]=r(ααT)≤r(α)≤1＜2． 方法2°因为齐次方程组αTx=0有2个线性无关的解，设为η1，η2，那么 αTη1=0，αTη2=0． 若α，β线性相关，不妨设β=kα，那么 βT η1=(kα)Tη1=kαTη1=0， βT η2=(kα)Tη2=kαTη2=0． 于是 Aη1=(ααT+ββT)η1=0， Aη2=(ααT+ββT)η2=0， 即Ax=0至少有2个线性无关的解，因此n—r(A)≥2，即r(A)≤1＜2．
解析
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考研数学一

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