设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

admin2020-03-05 33

问题设α，β为3维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置，证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

选项

答案(Ⅰ)利用r(A+B)≤r(A)+r(B)和r(AB)≤min(r(A)，r(B))，有 r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤r(α)+r(β)．又α，β均为3维列向量，则r(α)≤1，r(β})≤1．故r(A)≤2． (Ⅱ)方法1°当α，β线性相关时，不妨设β=kα，则 r(A)=r(αα^T+K²ββ^T)=r[(1+k²)αα^T]=r(αα^T)≤r(α)≤1＜2．方法2°因为齐次方程组α^Tx=0有2个线性无关的解，设为η₁，η₂，那么 α^Tη₁=0，α^Tη₂=0．若α，β线性相关，不妨设β=kα，那么 β^T η₁=(kα)^Tη₁=kα^Tη₁=0， β^T η₂=(kα)^Tη₂=kα^Tη₂=0．于是 Aη₁=(αα^T+ββ^T)η₁=0， Aη₂=(αα^T+ββ^T)η₂=0，即Ax=0至少有2个线性无关的解，因此n—r(A)≥2，即r(A)≤1＜2．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OwS4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

考研数学一

设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0。则有()

设f(x)有二阶连续导数，且f’(0)=0，则()

曲线y=xex与直线y=ex所围成图形的面积是_______．

设有界函数f(x)在(c，+∞)内可导，且=b，则b=__________。

设正项级数发散，则中结论正确的个数为()

设二维随机变量(X，Y)在区域D：x2+y2≤9a2(a＞0)上服从均匀分布，p=P(X2+9Y2≤9a2)，则()．

将∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化为极坐标下的二次积分________。

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体X～N(μ，σ2)的样本，则统计量服从的分布是_________

设是取自总体X中的简单随机样本X1，X2，…，Xn的样本均值，则是μ的矩估计，如果()

驾驶机动车在这种情况下可以右转弯。

领导者树立科学的政绩观的基本要求。

下列选项中，属于合同法定解除条件的是()。

在拱的安装施工中，拱段接头采用现浇混凝土时必须保证其强度达到（）以上时方可进行拱上建筑施工。

某有限责任公司的股东张某发现本公司经理在经营中收受贿赂，给公司全体股东造成了损失。如果张某准备对该经理提起诉讼，下列说法正确的有()。

全国首家茶文化主题公园是()。

为什么说艺术是社会生活的反映?

唐太宗：魏征

支持性资源过程的人事招聘过程应届于()生命周期阶段。

Allofthepeopleinthelabwere________bythestrangeresultsoftheexperiment.