设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2一4E的特征值为0，5，32．求A一1的特征值并判断A一1是否可对角化．

admin2016-10-24 67

问题设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A^*)²一4E的特征值为0，5，32．求A^一1的特征值并判断A^一1是否可对角化．

选项

答案设A的三个特征值为λ₁，λ₂，λ₃，因为B=(A^*)²一4E的三个特征值为0，5，32，所以(A^*)²的三个特征值为4，9，36，于是A^*的三个特征值为2，3，6．又因为|A^*=36=|A|^3一1，所以|A|=6．由[*]=6，得λ₁=3，λ₂=2，λ₃=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A^一1的特征值为1， [*] 因为A^一1的特征值都是单值，所以A^一1可以相似对角化．

解析

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考研数学三

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