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已知齐次方程组为其中ai≠0． (1)讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时方程组有非零解； (2)在方程组有非零解时，写出一个基础解系．
已知齐次方程组为其中ai≠0． (1)讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时方程组有非零解； (2)在方程组有非零解时，写出一个基础解系．
admin
2016-10-21
41
问题
已知齐次方程组为
其中
a
i
≠0．
(1)讨论a
1
，a
2
，…，a
n
和b满足何种关系时方程组有非零解；
(2)在方程组有非零解时，写出一个基础解系．
选项
答案
(1)用矩阵消元法．设系数矩阵为A，A第1至(n－1)行各减去第n行： [*] 如果b＝0，则r(A)＝1，此时有非零解． 当b≠0时，继续对B作初等行变换：1至n－1行都除以b，再把第i行的－a
i
倍加到第n行上(1≤i≤n－1)， [*] 则当b＝－[*]a
i
时，r(A)＝n－1，此时也有非零解． 如果b≠0且b≠－[*]a
i
，则r(A)＝n，此时只有零解． (2)在b＝0时求AX＝0的基础解系：此时AX＝0与方程a
1
χ
1
＋a
2
χ
2
＋a
3
χ
3
＋…＋a
n
χ
n
＝0，同解．由于[*]a
i
≠0，a
1
，a
2
，…，a
n
不全为0． 不妨设a
n
≠0，规定 η
1
＝(a
n
，0，…，0，－a
1
)
T
， η
2
＝(0，a
n
，0，…，－a
2
)
T
，…，η
n-1
＝(0，…，0，a
n
，－a
n-1
)
T
， 则η
1
，η
2
，…，η
n-1
是n－1个线性无关的解，构成AX＝0的基础解系． 在b＝－[*]a
i
时， C＝[*] 则AX＝0与CX＝0同解，向量(1，1，…，1)
T
构成基础解系．
解析
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