已知齐次方程组为其中ai≠0. (1)讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时方程组有非零解; (2)在方程组有非零解时,写出一个基础解系.

admin2016-10-21  37

问题 已知齐次方程组为其中ai≠0.
    (1)讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时方程组有非零解;
    (2)在方程组有非零解时,写出一个基础解系.

选项

答案(1)用矩阵消元法.设系数矩阵为A,A第1至(n-1)行各减去第n行: [*] 如果b=0,则r(A)=1,此时有非零解. 当b≠0时,继续对B作初等行变换:1至n-1行都除以b,再把第i行的-ai倍加到第n行上(1≤i≤n-1), [*] 则当b=-[*]ai时,r(A)=n-1,此时也有非零解. 如果b≠0且b≠-[*]ai,则r(A)=n,此时只有零解. (2)在b=0时求AX=0的基础解系:此时AX=0与方程a1χ1+a2χ2+a3χ3+…+anχn=0,同解.由于[*]ai≠0,a1,a2,…,an不全为0. 不妨设an≠0,规定 η1=(an,0,…,0,-a1)T, η2=(0,an,0,…,-a2)T,…,ηn-1=(0,…,0,an,-an-1)T, 则η1,η2,…,ηn-1是n-1个线性无关的解,构成AX=0的基础解系. 在b=-[*]ai时, C=[*] 则AX=0与CX=0同解,向量(1,1,…,1)T构成基础解系.

解析
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