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已知齐次方程组为其中ai≠0. (1)讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时方程组有非零解; (2)在方程组有非零解时,写出一个基础解系.
已知齐次方程组为其中ai≠0. (1)讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时方程组有非零解; (2)在方程组有非零解时,写出一个基础解系.
admin
2016-10-21
63
问题
已知齐次方程组为
其中
a
i
≠0.
(1)讨论a
1
,a
2
,…,a
n
和b满足何种关系时方程组有非零解;
(2)在方程组有非零解时,写出一个基础解系.
选项
答案
(1)用矩阵消元法.设系数矩阵为A,A第1至(n-1)行各减去第n行: [*] 如果b=0,则r(A)=1,此时有非零解. 当b≠0时,继续对B作初等行变换:1至n-1行都除以b,再把第i行的-a
i
倍加到第n行上(1≤i≤n-1), [*] 则当b=-[*]a
i
时,r(A)=n-1,此时也有非零解. 如果b≠0且b≠-[*]a
i
,则r(A)=n,此时只有零解. (2)在b=0时求AX=0的基础解系:此时AX=0与方程a
1
χ
1
+a
2
χ
2
+a
3
χ
3
+…+a
n
χ
n
=0,同解.由于[*]a
i
≠0,a
1
,a
2
,…,a
n
不全为0. 不妨设a
n
≠0,规定 η
1
=(a
n
,0,…,0,-a
1
)
T
, η
2
=(0,a
n
,0,…,-a
2
)
T
,…,η
n-1
=(0,…,0,a
n
,-a
n-1
)
T
, 则η
1
,η
2
,…,η
n-1
是n-1个线性无关的解,构成AX=0的基础解系. 在b=-[*]a
i
时, C=[*] 则AX=0与CX=0同解,向量(1,1,…,1)
T
构成基础解系.
解析
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