2. 考研
  3. 已知齐次方程组为其中ai≠0． (1)讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时方程组有非零解； (2)在方程组有非零解时，写出一个基础解系．

已知齐次方程组为其中ai≠0． (1)讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时方程组有非零解； (2)在方程组有非零解时，写出一个基础解系．

admin2016-10-21  74
问题 已知齐次方程组为其中ai≠0．
    (1)讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时方程组有非零解；
    (2)在方程组有非零解时，写出一个基础解系．
选项
答案(1)用矩阵消元法．设系数矩阵为A，A第1至(n－1)行各减去第n行： [*] 如果b＝0，则r(A)＝1，此时有非零解． 当b≠0时，继续对B作初等行变换：1至n－1行都除以b，再把第i行的－ai倍加到第n行上(1≤i≤n－1)， [*] 则当b＝－[*]ai时，r(A)＝n－1，此时也有非零解． 如果b≠0且b≠－[*]ai，则r(A)＝n，此时只有零解． (2)在b＝0时求AX＝0的基础解系：此时AX＝0与方程a1χ1＋a2χ2＋a3χ3＋…＋anχn＝0，同解．由于[*]ai≠0，a1，a2，…，an不全为0． 不妨设an≠0，规定 η1＝(an，0，…，0，－a1)T， η2＝(0，an，0，…，－a2)T，…，ηn-1＝(0，…，0，an，－an-1)T， 则η1，η2，…，ηn-1是n－1个线性无关的解，构成AX＝0的基础解系． 在b＝－[*]ai时， C＝[*] 则AX＝0与CX＝0同解，向量(1，1，…，1)T构成基础解系．
解析
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考研数学二

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