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设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过x轴上点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径r(z)=的圆面.若以每秒υ0体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的 写出注水过程
设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过x轴上点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径r(z)=的圆面.若以每秒υ0体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的 写出注水过程
admin
2019-01-29
89
问题
设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过x轴上
点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径r(z)=
的圆面.若以每秒υ
0
体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的
写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式,并证明水面高度z与时间t的函数关系:
选项
答案
由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是 V(t)=∫
0
z(t)
S(t)dz, 其中S(z)是水面D(z)的面积,即 S(z)=π[z
2
+(1—z)
2
]. 现由[*]=υ
0
及z(0)=0,求z(t). 将上式两边对t求导,由复合函数求导法得 [*] 这是可分离变量的一阶微分方程,分离变量得 S(z)dz=υ
0
dt,即[z
2
+(1—z)
2
]dz=[*]. 两边积分并注意z(0)=0,得 [*]
解析
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考研数学二
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