设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过x轴上点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)=的圆面．若以每秒υ0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的写出注水过程

admin2019-01-29 81

问题设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过x轴上

点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)=

的圆面．若以每秒υ₀体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的
写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系：

选项

答案由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是 V(t)=∫₀^z(t)S(t)dz，其中S(z)是水面D(z)的面积，即 S(z)=π[z²+(1—z)²]．现由[*]=υ₀及z(0)=0，求z(t)．将上式两边对t求导，由复合函数求导法得 [*] 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=υ₀dt，即[z²+(1—z)²]dz=[*]．两边积分并注意z(0)=0，得 [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

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