设四阶矩阵A=(aij)不可逆,a12的代数余子式A12≠0,α1,α2,α3,α4为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵,则方程组A*x=0的通解为( ).

admin2022-09-22  245

问题 设四阶矩阵A=(aij)不可逆,a12的代数余子式A12≠0,α1,α2,α3,α4为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵,则方程组A*x=0的通解为(          ).

选项 A、x=k1α1+k2α2+k3α3,其中k1,k2,k3为任意常数
B、x=k1α1+k2α2+k3α4,其中k1,k2,k3为任意常数
C、x=k1α1+k2α3+k3α4,其中k1,k2,k3为任意常数
D、x=k1α2+k2α3+k3α4,其中k1,k2,k3为任意常数

答案C

解析 因为A不可逆,
    所以|A|=0.
    因为A12≠0,所以r(A)=3,
    则r(A*)=1,
    故A*x=0的基础解系有3个线性无关的解向量.
    因为A*A=|A|E=0,
    所以A的每一列都是A*x=0的解.
    又因为A12≠0,所以α1,α3,α4线性无关,
    故A*x=0的通解为x=k1α1+k2α3+k3α4,故选C项.
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