求下列定积分: (Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx.

admin2018-08-12  38

问题 求下列定积分:
(Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx.

选项

答案[*]

解析 积分I=∫0bf(x)dx在变量替换t=b-x下积分区间保持不变,即
I=-∫b0f(b-t)dt=∫0bf(b-t)dt=∫0bf(b-x)dx,
于是2I=∫0b[f(x)+f(b-x)]dx.若右端易求,则就求出了I值.
积分区间的对称性除了奇函数或偶函数带来方便之外,有时对某些其他函数也会带来方便.在对称区间的情形:I=∫-aaf(x)dx,若作变量替换x=-t,则积分区间保持不变,即I=∫-aaf(-t)dt.
于是2I=∫-aa[f(x)+f(-x)]dx.
若右端积分易算,则就求出了I的值.
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