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求下列定积分: (Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx.
求下列定积分: (Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx.
admin
2018-08-12
59
问题
求下列定积分:
(Ⅰ)I=∫
0
π
sin
2
xarctane
x
dx.
选项
答案
[*]
解析
积分I=∫
0
b
f(x)dx在变量替换t=b-x下积分区间保持不变,即
I=-∫
b
0
f(b-t)dt=∫
0
b
f(b-t)dt=∫
0
b
f(b-x)dx,
于是2I=∫
0
b
[f(x)+f(b-x)]dx.若右端易求,则就求出了I值.
积分区间的对称性除了奇函数或偶函数带来方便之外,有时对某些其他函数也会带来方便.在对称区间的情形:I=∫
-a
a
f(x)dx,若作变量替换x=-t,则积分区间保持不变,即I=∫
-a
a
f(-t)dt.
于是2I=∫
-a
a
[f(x)+f(-x)]dx.
若右端积分易算,则就求出了I的值.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PQj4777K
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