求下列定积分： (Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx．

admin2018-08-12 52

问题求下列定积分：
(Ⅰ)I=∫₀^π

sin²xarctane^xdx．

选项

答案[*]

解析积分I=∫₀^bf(x)dx在变量替换t=b-x下积分区间保持不变，即
I=-∫_b⁰f(b-t)dt=∫₀^bf(b-t)dt=∫₀^bf(b-x)dx，
于是2I=∫₀^b[f(x)+f(b-x)]dx．若右端易求，则就求出了I值．
积分区间的对称性除了奇函数或偶函数带来方便之外，有时对某些其他函数也会带来方便．在对称区间的情形：I=∫_-a^af(x)dx，若作变量替换x=-t，则积分区间保持不变，即I=∫_-a^af(-t)dt．
于是2I=∫_-a^a[f(x)+f(-x)]dx．
若右端积分易算，则就求出了I的值．

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