已知二面角α一l一β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )

admin2017-11-16 19

问题已知二面角α一l一β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )

选项 A、2
B、3
C、4
D、5

答案B

解析首先给出下面两个结论
①两条平行线与同一个平面所成的角相等．
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．
(1)如图1，过二面角α—l一β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，交两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α—l一β的平面角，∠AOB=50°．
设OP₁为∠AOB的平分线，则∠P₁OA=∠P₁OB=25°，与平面α，β所成的角都是25°，此时过P且与OP₁平行的直线符合要求，有一条．
当OP₁以O为轴心，在二面角α—l一β的平分面上转动时，OP₁与两平面夹角变小，不再会出现25°情形．

(2)如图2，设OP₂为∠AOB的补角∠AOB^’，则∠P₂OA=∠P₂OB=65°，与平面α，β所成的角都是65°．
当OP₂以O为轴心，在二面角α—l一β^’的平分面上转动时，OP₂与两平面夹角变小，对称地在图中OP₂两侧会出现25°情形，有两条，此时过P且与OP₂平行的直线符合要求，有两条．

综上所述，直线的条数共有三条，故选B．

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