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已知数列{an}的前n项和Sn=An2+n,其中A∈N*,则: (1)求数列的通项公式an(结果用含A的代数式表示); (2)若存在正整数B,使得aB、aB、aB成等比数列,求数列的通项公式an。
已知数列{an}的前n项和Sn=An2+n,其中A∈N*,则: (1)求数列的通项公式an(结果用含A的代数式表示); (2)若存在正整数B,使得aB、aB、aB成等比数列,求数列的通项公式an。
admin
2015-11-17
61
问题
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=An
2
+n,其中A∈N
*
,则:
(1)求数列的通项公式a
n
(结果用含A的代数式表示);
(2)若存在正整数B,使得a
B
、a
B
、a
B
成等比数列,求数列的通项公式a
n
。
选项
答案
(1)当n=1时,S
1
=a
1
=A+1; 当n≥2时,a
n
=S
n
一S
n-1
=A.n
2
+n一A(n一1)
2
一(n一1)=2A.n一A+1. 又n=1时,a
1
=2A—A+1=A+1, 所以数列的通项公式a
n
=2A.n一A+1. (2)根据已求得的通项公式可知, a
B
=2AB—A+1,a
2B
=4AB—A+1,a
4B
=8AB一A+1. 因为a
B
、a
2B
、a
4B
成等比数列, 所以(4AB—A+1)
2
=(2AB—A+1).(8AB—A+1). 化简可得,16A
2
B
2
一8AB(A一1)+(A一1)
2
=16A
2
B
2
一10AB(A一1)+(A一1)
2
, 所以AB(A一1)=0, 已知A、B均为正整数,则A一1=0,所以A=1. 数列的通项公式a
n
=2n.
解析
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