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设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=0,|f’(x)|≤|f(x)|.证明:f(x)≡0,x∈[0,1].
设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=0,|f’(x)|≤|f(x)|.证明:f(x)≡0,x∈[0,1].
admin
2018-01-23
65
问题
设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=0,|f’(x)|≤
|f(x)|.证明:f(x)≡0,x∈[0,1].
选项
答案
因为f(x)在[0,1]上可导,所以f(x)在[0,1]上连续,从而|f(x)|在[0,1]上连 续,故|f(x)|在[0,1]上取到最大值M,即存在x
0
∈[0,1],使得|f(x
0
)|=M. 当x
0
=0时,则M=0,所以f(x)≡0,x∈[0,1]; 当x
0
≠0时,M=|f(x
0
)|=f(x
0
)-f(0)|=|f’(ξ)|x
0
≤|f’(ξ)|≤[*], 其中ξ∈(0,x
0
),故M=0,于是f(x)≡0,x∈[0,1].
解析
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考研数学三
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