2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，并且f(x)g’(x)一f’(x)≠0，试证：在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0．

设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，并且f(x)g’(x)一f’(x)≠0，试证：在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0．

admin2017-07-26  58
问题 设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，并且f(x)g’(x)一f’(x)≠0，试证：在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0．
选项
答案由已知条件f(x)g’(x)一f’(x)≠0，可知f’(x)一f(x)g’(x)≠0，即 作辅助函数F(x)=f(x)e—g(x)，则F(x)在[x1，x2]上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，在(x1，x2)[*](a，b)内至少存在一点ξ，使 F’(ξ)=e—g(ξ)[f’(ξ)一f(ξ)g’(ξ)]=0， 这与已知条件f(x)g’(x)一f’(x)≠0，x∈(a，b)矛盾， 故f(x)在(a，b)内至多存在一个零点．
解析
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考研数学三

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