设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，并且f(x)g’(x)一f’(x)≠0，试证：在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0．

admin2017-07-26 49

问题设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，并且f(x)g’(x)一f’(x)≠0，试证：在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0．

选项

答案由已知条件f(x)g’(x)一f’(x)≠0，可知f’(x)一f(x)g’(x)≠0，即作辅助函数F(x)=f(x)e^—g(x)，则F(x)在[x₁，x₂]上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，在(x₁，x₂)[*](a，b)内至少存在一点ξ，使 F’(ξ)=e^—g(ξ)[f’(ξ)一f(ξ)g’(ξ)]=0，这与已知条件f(x)g’(x)一f’(x)≠0，x∈(a，b)矛盾，故f(x)在(a，b)内至多存在一个零点．

解析

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考研数学三

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