2. 考研
  3. 设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。 （Ⅰ）计算并化简PQ； （Ⅱ）证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA—1α≠b。

设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。 （Ⅰ）计算并化简PQ； （Ⅱ）证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA—1α≠b。

admin2017-01-21  64
问题 设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。
（Ⅰ）计算并化简PQ；
（Ⅱ）证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA—1α≠b。
选项
答案（Ⅰ）由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A—1有 [*] （Ⅱ）由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 [*] =|A|2（b—aTA—1α）。 因为矩阵A可逆，行列式|A|≠0，故|Q|=|A|（b—αTA—1α）。 由此可知，Q可逆的充分必要条件是b—αTA —1α≠0，即αTA—1α≠b。
解析
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考研数学三

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