求下列函数的极值： f(x，y)=xy(a-x-y)(a＞0)；

admin2023-03-22 52

问题求下列函数的极值：
f(x，y)=xy(a-x-y)(a＞0)；

选项

答案f’_x(x，y)=ay-2xy-y²=y(a-2x-y)， f’_y(x，y)=ax-2xy-x²=x(a-2y-x)，得到四个驻点(0，0)，(a，0)，(0，a)，(a／3，a／3)，又因为二阶偏导数 f’’_xx(x，y)=-2y， f’’_xy(x，y)=a-2x-2y，f’’_yy(x，y)=-2x，在(0，0)，(a，0)，(0，a)三个点处AC-B²＜0，则这三个点不是极值点．在(a／3，a／3)点处有 A=-2／3a，B=-1／3a，C=-2／3a，故AC-B²＞0且A＜0，从而点(a／3，a／3)为函数的极大值点．

解析

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