求下列函数的极值: f(x,y)=xy(a-x-y)(a>0);

admin2023-03-22  27

问题 求下列函数的极值:
f(x,y)=xy(a-x-y)(a>0);

选项

答案f’x(x,y)=ay-2xy-y2=y(a-2x-y), f’y(x,y)=ax-2xy-x2=x(a-2y-x), 得到四个驻点(0,0),(a,0),(0,a),(a/3,a/3),又因为二阶偏导数 f’’xx(x,y)=-2y, f’’xy(x,y)=a-2x-2y,f’’yy(x,y)=-2x, 在(0,0),(a,0),(0,a)三个点处AC-B2<0,则这三个点不是极值点.在(a/3,a/3)点处有 A=-2/3a,B=-1/3a,C=-2/3a, 故AC-B2>0且A<0,从而点(a/3,a/3)为函数的极大值点.

解析
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