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  3. 证明：若f在[a，+∞)上一致连续，且∫a+∞f(x)dx收敛，则f(x)=0．

证明：若f在[a，+∞)上一致连续，且∫a+∞f(x)dx收敛，则f(x)=0．

admin2022-11-23  15
问题 证明：若f在[a，+∞)上一致连续，且∫a+∞f(x)dx收敛，则f(x)=0．
选项
答案因为f(x)在[a，+∞)上一致连续，故对任给的ε＞0，存在δ＞0，使得当x1，x2∈[a，+∞)且｜x1-x2｜＜δ时有｜f(x1)-f(x2)｜＜ε．又由于∫a+∞f(x)收敛，所以取ε1=δε，存在M＞a，使得当x＞M时，有｜∫xx+δf(t)dt｜＜δε． 由上可知，当x＜t＜x+δ时，f(t)-ε＜f(x)＜f(t)+ε．从而有 ∫xx+δf(t)dt-δε≤∫xx+δf(t)dt≤∫xx+δf(t)dt+δε， 即｜∫xx+δf(x)dt-∫xx+δf(t)dt｜≤δε， 于是当x＞M时，有 ｜f(x)｜=[*]｜∫xx+δf(x)dt｜≤[*][｜∫xx+δf(x)dt-∫xx+δf(t)dt｜+｜∫xx+δf(t)dt｜] ＜ε+ε=2ε． 故[*]f(x)=0．
解析
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考研数学一

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