证明：若f在[a，+∞)上一致连续，且∫a+∞f(x)dx收敛，则f(x)=0．

admin2022-11-23 8

问题证明：若f在[a，+∞)上一致连续，且∫_a^+∞f(x)dx收敛，则

f(x)=0．

选项

答案因为f(x)在[a，+∞)上一致连续，故对任给的ε＞0，存在δ＞0，使得当x₁，x₂∈[a，+∞)且｜x₁-x₂｜＜δ时有｜f(x₁)-f(x₂)｜＜ε．又由于∫_a^+∞f(x)收敛，所以取ε₁=δε，存在M＞a，使得当x＞M时，有｜∫_x^x+δf(t)dt｜＜δε．由上可知，当x＜t＜x+δ时，f(t)-ε＜f(x)＜f(t)+ε．从而有 ∫_x^x+δf(t)dt-δε≤∫_x^x+δf(t)dt≤∫_x^x+δf(t)dt+δε，即｜∫_x^x+δf(x)dt-∫_x^x+δf(t)dt｜≤δε，于是当x＞M时，有｜f(x)｜=[*]｜∫_x^x+δf(x)dt｜≤[*][｜∫_x^x+δf(x)dt-∫_x^x+δf(t)dt｜+｜∫_x^x+δf(t)dt｜] ＜ε+ε=2ε．故[*]f(x)=0．

解析

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