设f(x)在x0处n阶可导,且f(m)(x0)=0(m=1,2,…,n一1),f(n)(x0)≠0(n≥2),证明:(1)当n为偶数且f(n)(x0)<0时f(x)在x0处取得极大值; (2)当n为偶数且f(n)(x0)>0时f(x)在x0处取得极

admin2019-02-23  17

问题 设f(x)在x0处n阶可导,且f(m)(x0)=0(m=1,2,…,n一1),f(n)(x0)≠0(n≥2),证明:(1)当n为偶数且f(n)(x0)<0时f(x)在x0处取得极大值;
    (2)当n为偶数且f(n)(x0)>0时f(x)在x0处取得极小值.

选项

答案咒为偶数,令n=2k,构造极限 [*] 当f(2k)(x0)<0时,由极限保号性可得[*]<0,即f(x)<f(x0),故x0为极大值点; 当f(2k)(x0)>0时,由极限保号性可得[*]>0,即f(x)>f(x0),故x0为极小值点.

解析
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