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函数f(x)=(4-t)e-tdt在(一∞,+∞)内的最大值为______.
函数f(x)=(4-t)e-tdt在(一∞,+∞)内的最大值为______.
admin
2020-09-23
48
问题
函数f(x)=
(4-t)e
-t
dt在(一∞,+∞)内的最大值为______.
选项
答案
3+e
-4
解析
因为f(x)为偶函数,故只要求出f(x)在(0,+∞)上的最大值即可.
f’(x)=2x(4-x
2
)
,令f’(x)=0,得f(x)的驻点x
1
=0,x
2
=2,没有使f’(x)不存在的点.下面求f(x
1
),f(x
2
),f(+∞).
f(x
1
)=f(0)=0,
f(x
2
)=f(2)=∫
0
4
(4一t)e
-t
dt一[一(4一t)e
-t
+e
-t
]|
0
4
=3+e
-4
,
f(+∞)=∫
0
+∞
(4一t)e
-t
dt=[一(4一t)e
-t
+e
-t
]|
0
+∞
=3.
故所求最大值为M=max{f(0),f(2),f(+∞)}=3+e
-4
.
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考研数学一
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