已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r，是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，证明：方程组Ax=b的任一个解均可由η，η+ξ1，η+ξ2，η+ξn－r线性表出．

admin2016-04-29 54

问题已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r，是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，证明：
方程组Ax=b的任一个解均可由η，η+ξ₁，η+ξ₂，η+ξ_n－r线性表出．

选项

答案Ax=b的任一解，设为η^*，则η^*=η+λ₁ξ₁+λ₂ξ₂+…+λ_n－rξ_n－r，且η^*=η+λ₁ξ₁+λ₂ξ₂+…+λ_n－rξ_n－r， =η+λ₁ (ξ₁+η－η)－λ₂ (ξ₂+η－η)+…+λ_n－r (ξ_n－r+η) =(1－λ₁－λ₂－…－λ_n－r)η+λ₁ (ξ₁+η)+ λ₂ (ξ₂+η)+…+λ_n－r (ξ_n－r+η，故任一个Ax=b的解η^*均可由向量组η，η+ξ₁，η+ξ₂，…，η+ξ_n－r线性表出．

解析

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考研数学三

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已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r，是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，证明：方程组Ax=b的任一个解均可由η，η+ξ1，η+ξ2，η+ξn－r线性表出．

考研数学三

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设α1，α2，…，αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…，αr线性表示，但β不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…，αr-1，β线性表示．

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