已知∫0x(x-t)f(t)dt=1－cosx，证明∫0f(x)dx=1．

admin2017-04-26 69

问题已知∫₀^x(x-t)f(t)dt=1－cosx，证明∫₀f(x)dx=1．

选项

答案证明将已知等式展开得 x∫₀^xf(t)dt一∫₀^xtf(t)dt=1一cosx，等式两边对x求导得 ∫₀^xf(t)dt+xf(x)一xf(x)=sinx，即∫₀^xf(t)dt=sinx，令x=[*]，得 ∫₀^[*]f(t)dt=sin[*]=1，即∫₀<

解析本题主要考查定积分中的积分变量概念，以及变上限定积分的求导计算，已知等式左端是对变量t积分，所以被积函数中的x相对于t而言是常量，可以提到积分号外，这点是需要注意的．

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