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  3. 求解微分方程y"－y’／x＋y／x2＝2／x。

求解微分方程y"－y’／x＋y／x2＝2／x。

admin2015-11-16  26
问题 求解微分方程y"－y’／x＋y／x2＝2／x。
选项
答案解 原方程可化为x2y"－xy’＋y＝2x，此谓欧拉方程。 作代换x＝et，则t＝lnx，代入方程得到 [*] 将其代入原方程即得方程①，下求解方程①。 其特征方程为 r2－2r＋1＝(r－1)2＝0，r1＝r2＝1， 故其齐次方程的通解为 Y＝(C1＋C2t)et＝(C1＋C2lnx)x。 设非齐次方程的特解为y*＝At2et，代入①得A＝1，故 y*＝t2et＝x(lnx)2。 于是原方程的通解为 y＝Y＋y*＝(C1＋C2lnx)x＋x(lnx)2。
解析 [解题思路]  所给方程可化为欧拉方程，利用变量代换求之。
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考研数学一

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