求解微分方程y"－y’／x＋y／x2＝2／x。

admin2015-11-16 41

问题求解微分方程y"－y’／x＋y／x²＝2／x。

选项

答案解原方程可化为x²y"－xy’＋y＝2x，此谓欧拉方程。作代换x＝e^t，则t＝lnx，代入方程得到 [*] 将其代入原方程即得方程①，下求解方程①。其特征方程为 r²－2r＋1＝(r－1)²＝0，r₁＝r₂＝1，故其齐次方程的通解为 Y＝(C₁＋C₂t)e^t＝(C₁＋C₂lnx)x。设非齐次方程的特解为y^*＝At²e^t，代入①得A＝1，故 y^*＝t²e^t＝x(lnx)²。于是原方程的通解为 y＝Y＋y^*＝(C₁＋C₂lnx)x＋x(lnx)²。

解析 [解题思路] 所给方程可化为欧拉方程，利用变量代换求之。

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