设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2－4E的特征值为0,5,32，求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化。

admin2021-11-25 47

问题设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A^*)²－4E的特征值为0,5,32，求A^-1的特征值并判断A^-1是否可对角化。

选项

答案设A的三个特征值为λ₁,λ₂,λ₃,因为B=(A^*)²－4E的三个特征值为0,5,32，所以（A^*)²的三个特征值为4,9,36，于是A^*的三个特征值为2,3,6 又因为｜A^*｜=36=｜A｜^3-1,所以｜A｜=6 [*],得λ₁=3，λ₂=2，λ₃=1 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A^-1的特征值是[*] 因为A^-1的特征值都是单值，所以A^-1可以相似对角化。

解析

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